ECUACIONES DE LA RECTA (I)
Introducción Ecuaciones de la recta (I) Ecuaciones de la recta (II)
I. Ecuación vectorial de la recta
Toda recta en el plano queda determinada por un punto Po(xo,yo) y un vector director v=(a,b). Si P(x,y) es un punto cualquiera de la recta, existe un número real t que verifica:
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Si observamos la escena, teniendo en cuenta la suma de vectores obtendremos:
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esta expresión recibe el nombre de ecuación vectorial de la recta, que expresada en coordenadas, viene dada por:
(x,y)=(xo,yo)+t(a,b) |
Observa la siguiente escena. Modificando el control t, el punto P se va moviendo por la recta obteniéndose todos los puntos de la misma. La ecuación vectorial de la recta y las coordenadas de sus puntos aparecen en la parte superior izquierda de la escena. Para eliminar el rastro que van dejando los puntos pincha sobre el botón limpiar.
Ejercicios:
1º) Considera la ecuación vectorial de la recta de la figura. Halla los puntos de dicha recta para t=0, 1 y 2. Comprueba el resultado a través de la escena.
2º) Si P(-2,2) es un punto de la recta, ¿cuánto debe valer t?. ¿Pertenece a dicha recta el punto (5,4)?. Comprueba estos resultados mediante la escena.
II. Ecuaciones paramétricas de la recta
Las ecuaciones paramétricas de la recta se obtienen a partir de la ecuación vectorial:
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Igualando componente a componente obtenemos las ecuaciones paramétricas de la recta:
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Ejercicio:
3º) Determina las ecuaciones vectorial y paramétrica de la recta que pasa por el punto Po(-2,3) y tiene como vector director v=(-2,3). Obtén otro punto de dicha recta y represéntala gráficamente.
III. Ecuación continua de la recta
Obtenemos la ecuación continua de la recta despejando t en sus ecuaciones paramétricas e igualando ambas expresiones:
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Esta última igualdad sería la ecuación continua de la recta que pasa por un punto fijo Po(xo,yo) y que tiene como vector director v=(a,b).
Ejercicio:
4º) Halla la ecuación continua de la recta del ejercicio anterior.
IV. Ecuación general de la recta
Si en la expresión de la ecuación continua de la recta multiplicamos los dos miembros en cruz, obtenemos:
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Si A=b, B=-a, C=ayo-bxo, concluimos:
Ax+By+C=0 |
que es la ecuación general de la recta.
Si observamos la escena, desde un punto de vista geométrico los coeficientes A y B de la ecuación general de la recta son las componentes de un vector n=(A,B) normal (perpendicular) a dicha recta ya que el producto escalar de (A,B)=(b,-a) y el vector director de la recta (a,b) es nulo:
(A,B)·(a,b)=(b,-a)·(a,b)=ba-ab=0 |
Modifica los parámetros A, B y C de forma independiente en la escena ¿Qué efecto se produce en la recta?.
Observa la relación entre los coeficientes A y B de la ecuación y las componentes del vector director de la recta.
Ejercicio:
5º) Dada la ecuación de la recta de la escena. Halla la ecuación de una recta perpendicular a la misma con el mismo valor de C. Comprueba el resultado modificando los parámetros de la escena.
V. Inclinación y pendiente de una recta
Se llama inclinación de una recta al ángulo a que ésta forma con la dirección positiva del eje de abscisas.
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La pendiente m de una recta es la tangente trigonométrica de su inclinación
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Varía el valor de la pendiente y observa que para valores de la inclinación correspondientes al primer cuadrante 0º<a<90º, la pendiente m es positiva; mientras que para inclinaciones correspondientes al segundo cuadrante 90º<a<180, la pendiente m es negativa.
VI. Relación entre el vector director de una recta y su pendiente
La pendiente m de una recta es el cociente entre la ordenada y la abscisa de cualquier vector director de la recta v=(a,b).
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Pincha con el ratón sobre el punto P y, sin soltarlo, muévelo por la escena. ¿Qué conclusiones puedes obtener?
Varía el valor del parámetro tamaño.¿Qué ocurre con la recta? ¿se modifica el valor del vector director? ¿y su pendiente?. Haz lo mismo variando la pendiente y explica qué ocurre.
Ejercicios:
6º.- Dibuja una recta que pase por el punto (4,4) y tenga de pendiente m=0.5. Halla un vector director de la misma. Comprueba tu resultado a través de la escena.
7º.- Haz lo mismo con una recta que pase por el origen de coordenadas y tenga como vector director el (3,1).
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