Curvas clásicas en coordenadas paramétricas

PARTE I

ÍNDICE:

  1. Evolvente del círculo (Evolvente de la circunferencia)

  2. Curvas de Lissajous

  3. Curvas espirográficas

  4. Epicicloides

  5. Hipocicloides

Evolvente del círculo

(Evolvente de la circunferencia)

Realiza la siguiente experiencia:

Observa que dibujas una especie de espiral que recibe el nombre de evolvente o desarrollada de la circunferencia.

La evolvente a la circunferencia puede considerarse engendrada desarrollando un hilo, mantenido tenso, que se supone previamente enrollado a la circunferencia.

Actividad 1:

  1. Fíjate en la evolvente (naranja) del círculo (azul) que aparece en la pantalla ¿Cómo se genera?

  2. Elige valores de t>0 y cuando alcances el valor t=4 pulsa en el botón limpiar ¿Tienes claro como se genera ahora?

  3. ¿Qué línea representa el vector TM respecto a la circunferencia azul? ¿Y respecto a la curva naranja (evolvente)?

  4. Pincha en el botón "Inicio"

  5. Elige valores de t<0 y fíjate  la curva que describe el punto M. ¿Se trata de una evolvente?

  6. Pincha en "Inicio" y dibuja las evolventes positiva y negativa del círculo de radio R=2.
   

Actividad 2:

  1. Escribe una definición de la evolvente de la circunferencia de acuerdo con la experiencia planteada anteriormente. No la más general otorgada por Huygens en su teoría de las evolventes.

  2. Trata de encontrar su ecuación observando la escena.

  3. Comprueba, pulsando las flechas del botón "Demostración"  que tu demostración es correcta. 

 

 

 

 

Curvas de LISSAJOUS (Siglo XIX)

Las curvas de Lissajous fueron descubiertas por el físico francés Julio Antoine Lissajous (1822 a 1880). Lissajous estaba interesado en poder visualizar las vibraciones. Estudió las vibraciones transversales de las láminas elásticas y la composición de varios movimientos vibratorios por un procedimiento óptico. Sus experimentos más famosos implicaron diapasones y espejos. Por ejemplo, uniendo un espejo a un diapasón y enfocando una luz sobre él, Lissajous podía observar, ayudado por otro par de espejos, la luz reflejada que se torcía y daba vuelta en los espejos, al tiempo de las vibraciones del diapasón. Cuando él instaló dos diapasones perpendicularmente, con uno vibrando al doble de la frecuencia del otro, Lissajous encontró que las líneas curvadas en la pantalla se combinaban para dar lugar a una de estas curvas que hoy llevan su nombre.

Las curvas de Lissajous fueron utilizadas para determinar las frecuencias de sonidos o de señales de radio. Estas curvas permiten el estudio de los movimientos vibratorios y, particularmente, la comparación de los sonidos dados por dos instrumentos.  

 

Osciloscopio

osciloscopio

El osciloscopio se emplea en todos los procesos que abarca la electrónica y en muchas áreas de la técnica.

 

Medida de frecuencia

La frecuencia de una señal se puede medir con un osciloscopio por dos métodos:

  • A partir de la medida del período de dicha señal  empleando la fórmula:

F(Hz) = 1/T(sg)

  • Mediante la comparación entre una frecuencia de valor conocido y la que deseamos conocer.

En este caso el osciloscopio se hace trabajar en régimen X/Y (Deflexión exterior).

Aplicando cada una de las señales, a las entradas "X" e "Y" del osciloscopio y en el caso de que exista una relación armónica completa entre ambas, aparece en la pantalla una de las llamadas "figuras de Lissajous", a la vista de la cual se puede averiguar el número de veces que una frecuencia contiene a la otra y por lo tanto deducir el valor de la frecuencia desconocida.
Medida de fase

El sistema anterior de medida de frecuencia mediante el empleo de las "curvas de Lissajous", se puede utilizar igualmente para averiguar el desfase en grados existente entre dos señales distintas de la misma frecuencia.

 

Hacemos trabajar el osciloscopio con deflexión horizontal exterior, aplicando a sus entradas horizontal y vertical (X/Y) las dos señales que se desean comparar.

 

Mediante esta conexión se formará en la pantalla una "curva de Lissajous" que debidamente interpretada nos dará la diferencia de fase existente entre las dos formas de onda que se comparan.

 

En los siguientes dibujos, se dan algunos ejemplos de este sistema de aplicación.
Dibujo 2h Dibujo 2j  Dibujo 2i Dibujo 2k
Curva de Lissajous. Señales desfasadas 30º (o bien 330º). Curva de Lissajous. Señales desfasadas 90º (o bien 270º). Curva de Lissajous. Señales desfasadas 110º (o bien 250º) Curva de Lissajous. Señales desfasadas 180º.

 

Actividad 3: 

Al final de cada uno de los siguientes puntos pincha en "Inicio".

Mantén los valores iniciales excepto el que se indica en cada caso:

  1. k=5.80, k=5.95, k=6, k=6.10, k=8, k=8.10 ¿Qué figuras te recuerda?

  2. l=2.50, l=3, l=3.30, l=3.50, l=4.00, l=5, l=7, l=10 ¿Qué figuras te recuerda?

  3. Cambia consecutivamente el valor de m ¿Qué sensación tienes?

  4. l=10, cambia el valor de m ¿Qué sensación tienes?¿Qué obtienes cuando m=6?

  5. Cambia el valor de b, hasta que b=0 ¿Qué ocurre?

  6. Cambia el valor de a, hasta que a=0 ¿Qué ocurre?

  7. l=1.80 y k=4.80 ¿Qué figuras te recuerda?

  8. Prueba con otros valores y haz una tabla en la que apuntes aquellas figuras que más te gusten o presenten alguna particularidad interesante

a b m l k Observación
           
           
           
           
           

Curvas espirográficas

Son curvas que se pueden obtener con un Spirograph

Spirograph

Una curva espirográfica se puede obtener con un Spirograph, haciendo rodar un círculo interior o exterior sobre otro círculo, que permanece fijo, y colocando un bolígrafo en cualquier punto (agujero) del círculo que rueda.


Si el radio del círculo fijo es R, el radio del círculo móvil es r, y módulo del vector de posición del punto P respecto al centro del círculo móvil es a, la ecuación de la curva que resulta se define :

El punto P(x,y) describe la curva espirográfica

 

Actividad 4:

  1. Manteniendo los valores iniciales cambia el valor de a:  a=0, a=1

  2. ¿Qué ocurre si  R=r?

  3. Experimenta con los datos que se indican en la tabla

R r a  
6 4 4  
10 5 5  
10 6 6  
10 7 4  
10 3 9  
9 3 9  
-2 8 8  
9 4.75 4  
7 5.75 4  
  1. Si deseas saber como se desarrolla una curva varía el valor del ángulo t y verás una simulación de la trayectoria del punto amarillo.

                   

  Ricardo Sarandeses Fernández
 
Ministerio de Educación. Año 2002