Si en la ecuación (x-h)²+(y-k)²=r² desarrollamos los paréntesis y pasamos todo al primer miembro nos queda: x²+y²-2hx-2ky+h²+k²-r²=0, esto nos sugiere que toda ecuación de la forma: x²+y²+dx+ey+f=0 será la de una circunferencia de centro h=-d/2, k=-e/2 y radio tal que r²=(d²/4+e²/4)-f. Por lo tanto siempre que d²+e²-4f>0 tendremos que la ecuación: x²+y²+dx+ey+f=0 es la ecuación de una circunferencia.

Observación:
    Las ecuaciones de la forma ax²+ay²+mx+ny+p=0 tienen las mismas soluciones que las que resultan al dividir por a ; es decir,  las de la forma x²+y²+dx+ey+f=0.
Por lo tanto cada circunferencia ax²+ay²+mx+ny+p=0 también se puede escribir en la forma x²+y²+dx+ey+f=0 resultando realmente una circunferencia cuando m²+n²-pa>0

El siguiente applet nos permite modificar los parámetros d,e y f y ver el dibujo de la circunferencia correspondiente. Evidentemente los tres parámetros deben respetar siempre la condición: d²+e²-4f>0

15.- Si el centro está en el eje de las X ¿qué parámetro se hace cero en la ecuación general?, ¿Y cuando el centro está sobre el eje Y?. Comprueba tus hipótesis dibujando varias circunferencias.

16.- Modifica los parámetros para obtener circunferencias que pasen por el origen de coordenadas. ¿Qué característica tienen las ecuaciones de las circunferencias  que pasan por el origen?.

Si consideramos dos puntos A y B resulta que hay infinitas circunferencias que pasan por ellos, basta considerar la mediatriz del segmento que los une y observar que las circunferencias con centro en esa mediatriz y que pasen por uno de los puntos también pasarán por el otro.

Cuando los tres puntos estén alineados las mediatrices serán paralelas y no podremos encontrar un punto que equidiste de los tres.

23.- Escribe los valores de los parámetros de la circunferencia que pasa por los puntos P, Q y R. Seguramente necesitarás hacer algunos cálculos en tu cuaderno.