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Para obtener la
ecuación canónica o ecuación reducida de la hipérbola situemos un sistema de
coordenadas cartesianas con centro el punto medio del segmento focal FF¢ y eje de abscisas pasando por los focos. Entonces la
coordenadas de los focos en este sistema de referencia son F (c, 0)
y F¢ (– c, 0).
Sea P (x, y) un punto cualquiera del plano. Por definición de hipérbola, la igualdad [1] es una condición necesaria y suficiente para que el punto P (x, y) esté situado sobre la hipérbola. La fórmula de la distancia entre dos puntos nos proporciona las longitudes de los radios vectores del punto P,
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[2] |
De [1] y [2] se sigue la relación
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[3] |
Elevando al cuadrado los dos miembros de la igualdad [3], después de simplificar los términos semejantes se llega a una igualdad con un único radical. Transponiendo este radical y elevando de nuevo al cuadrado los dos miembros de la igualdad obtenida se llega a la igualdad
Como c > a, entonces c² – a² es positivo y haciendo b² = c² – a² se obtiene la ecuación de la hipérbola con centro el origen de coordenadas y focos en el eje de abscisas:
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[4] |
Debemos asegurarnos que la ecuación [4] deducida de [3] por transformaciones algebraicas no contiene raíces extrañas. Para ello será suficiente demostrar que los radios vectores PF y PF¢ de todo punto P (x, y) cuyas coordenadas x e y satisfacen la ecuación [4] verifican la relación [1].
Despejando y² en [4] y sustituyendo en [2], después de unos sencillos cálculos, se obtiene
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entonces el punto P considerado pertenece a la hipérbola ya que que | PF – PF¢ | = 2 a.
Como la ecuación [4] sólo contiene potencias pares de las variables x e y, la curva es simétrica con respecto a los ejes de coordenadas, y con respecto al origen. El punto O es el centro de la hipérbola.
Si transladamos los ejes paralelamente de forma que el origen sea el punto O¢(h, k) resulta que la ecuación de la hipérbola referida a estos ejes, es según hemos demostrado antes
Como las ecuaciones de la translación son
la ecuación de la hipérbola es
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Mover el punto O¢ utilizando los botones que aparecen en la parte inferior de la ventana. También se puede colocar el puntero de ratón sobre O¢, pulsar el botón principal del ratón y, sin soltarlo, transladar el punto a una nueva posición. Al soltar el botón del ratón, el punto O¢ se sitúa en las coordenadas elegidas. |
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Pulsar el botón limpiar para eliminar el rastro dejado por el punto O¢ en la translación. |
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El punto Q está asociado al punto P por las ecuaciones de la translación. Al mover el punto P éste describe una hipérbola de centro el origen, luego el lugar geométrico del punto Q también es una hipérbola. |
1. Trazar las hipérbolas de centros los puntos O¢(–2, 3), O¢(–3, –4), O¢(3, 1) y O¢(4, –3), indicando en cada caso las coordenadas de los focos.
2. Escribir la ecuaciones canónicas de las hipérbolas del ejercicio anterior.
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Autor: Antonio Berhó Rodríguez
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Alumno |
| Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2001 | |
| Alumno |
