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Intervalo de confianza para la media
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En una población cuya
distribución es conocida pero desconocemos algún
parámetro, podemos estimar dicho parámetro a partir de
una muestra representativa. Una estimación es puntual cuando se obtiene un sólo valor para el parámetro. Los estimadores más probables en este caso son los estadísticos obtenidos en la muestra, aunque es necesario cuantificar el riesgo que se asume al considerarlos. Más útil es la estimación por intervalos en la que calculamos dos valores, entre los que se encontrará el parámetro con una probabilidad fijada de antemano.
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Intervalo de confianza para la media
De una población desconocemos la media m y deseamos estimarla a partir de la media obtenida en una muestra de tamaño n
Sabemos que si la población es
normal N(m,s) y extraemos de ella
muestras de tamaño n, o sin ser la población normal es n>30,
la distribución muestral de medias sigue también una distribución normal 
, entonces
para una probabilidad 1-a fijada
de antemano, m pertenece
al intervalo:
donde za/2 es el valor tal que P(-za/2 £ z £ za/2 ) = 1-a y m la media de la muestra
Si la desviación típica de la población es desconocida, lo que suele ocurrir en la práctica, la aproximaremos por la de la muestra siempre que n>100
EJEMPLO 1
Para una muestra de 81 habitantes de cierta población se obtuvo una estatura media de 167 cm. Por estudios anteriores se sabe que la desviación típica de la altura de la población es de 8 cm. Construye un intervalo de confianza para la estatura media de la población al 95%
s=8 n=81
Comprueba en la tabla N(0,1) el valor crítico correspondientes a la probabilidad 0,975 Intervalo de confianza (167-1,96*0,89 ; 167+1,96*0,89)= (167-1,74;167+1,74) = (165,26;168,74) Calcula el intervalo a un nivel de confianza del 90% y del 99% Observa lo que ocurre al aumentar o disminuir el nivel de confianza |
En una muestra de 120 estudiantes que hicieron determinado examen se obtuvo una nota media de 5,6 y una desviación típica de 2,5. Calcula un intervalo de confianza para la nota media del examen al 95%. (UTILIZA LA ESCENA ANTERIOR)
Intervalo de confianza para la proporción
Si deseamos estimar la proporción p
con que una determinada característica se da en una población,
a partir de la proporción p' observada en una muestra de tamaño
n, sabemos que la distribución muestral de proporciones sigue también una distribución normal 
con q=1-p
Como las proporción p de la población es desconocida, se aproxima por la de la muestra siempre que n>100.
EJEMPLO 2
Una máquina fabrica piezas de precisión y en una caja de 200 piezas, recibida por un cliente han aparecido 6 piezas defectuosas, a un nivel de confianza del 99% ¿entre qué valores se puede esperar que esté la verdadera proporción de piezas defectuosas fabricadas por la máquina?
p'=0,035, q'=0,965 n=200
Comprueba en la tabla N(0,1) el valor crítico correspondientes a la probabilidad 0,995 Intervalo de confianza (0,035-2,575*0,013;0,035+2,575*0,013)=(0,035-0,033;0,035+0,033) = (0,002;0,068) Calcula el intervalo a un nivel de confianza del 90% y al 95% Observa lo que ocurre al aumentar o disminuir el tamaño de la muestra |
Tiramos 200 veces una moneda y 120 sale cara; al 95% ¿entre qué valores se puede esperar que esté la verdadera proporción de caras obtenidas con la moneda? (UTILIZA LA ESCENA ANTERIOR)
Intervalo de confianza y tamaño de la muestra
La amplitud del intervalo de
confianza depende del valor de 
Con un nivel de confianza del (1-a)100% admitimos que la diferencia entre la estimación para la media a partir de la muestra y su valor real es menor que E, que llamaremos error máximo admisible.
En el caso de estimar proporciones 
con
lo que 
EJEMPLO 3
La desviación típica de la altura de los habitantes de un país es de 8 cm. Calcular el tamaño mínimo que ha de tener una muestra de habitantes de dicho país para que el error cometido al estimar la altura media sea inferior a 1 cm con un nivel de confianza del 90%.
Comprueba en la tabla N(0,1) el valor crítico correspondientes a la probabilidad 0,95 E=1 n=(1,645*8/1)² = 173 Calcula el tamaño que debería tener la muestra al nivel de confianza 95% Calcula el tamaño que debería tener la muestra para reducir el intervalo calculado en el ejemplo 1 a la mitad, con el mismo nivel de confianza. |
Mª José García
Cebrian
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| Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000 | ||
