INFERENCIA ESTADÍSTICA

CONTRASTE DE HIPÓTESIS
Contraste de hipótesis sobre la media

Contraste de hipótesis sobre la proporción

Errores en el contraste de hipótesis

 A partir de una muestra aleatoria y significativa deseamos extraer conclusiones que permitan aceptar o rechazar una hipótesis previamente emitida, sobre el valor de un parámetro desconocido de la población. El método que seguiremos es el siguiente:
  1. Enunciar la hipótesis
    • La hipótesis emitida se suele designar por Ho y se llama Hipótesis nula
    • La hipótesis contraria se designa por H1 y se llama Hipótesis alternativa
  2. Elegir un nivel de significación a y construir la zona de aceptación, intervalo fuera del cual sólo se encuentran el a100% de los casos más raros.
  3. Verificar la hipótesis extrayendo una muestra cuyo tamaño se ha decidido en el paso anterior y obteniendo de ella el correspondiente estadístico (media o proporción)
  4. Decidir. Si el valor calculado en la muestra cae dentro de la zona de aceptación se acepta la hipótesis y si no se rechaza.

 

Contraste de hipótesis sobre la media

Queremos contrastar una hipótesis acerca del valor de la media poblacional a partir de los resultados de una muestra. El proceso que seguimos es:

Contraste bilateral

Ho: µ = µo ; H1: µ ¹ µo

 1) Establecer la hipótesis Contraste unilateral

Ho: µ £ µo ; H1: µ > µo
buscamos za/2 tal que P(-za/2 £z£ za/2 )=1-a

 Las medias muestrales se distribuyen

2) Elegir el nivel de significación a y determinar la zona de aceptación a partir del

INTERVALO DE CONFIANZA

 buscamos za tal que P(z £ za )=1-a
mÎ aceptamos Ho

mÏ rechazamos Ho

 3) Verificación

4) Decisión

 mÎ aceptamos Ho

mÏ rechazamos Ho

 

EJEMPLO 1

Se sabe que la desviación típica de las notas de cierto examen es 2,4. Para una muestra de 36 estudiantes se obtuvo una nota media de 5,6. ¿Sirven estos datos para confirmar la hipótesis de que la nota media del examen fue de 6 a un nivel de significación de 0,05?

Ho: µ = 6 ; H1: µ ¹ 6 (contraste bilateral)

  • si Ho es cierta las medias muestrales se distribuyen N(6;0,4)
  • Para a=0,05 a/2=0,025 za/2=1,96

Comprueba en la tabla N(0,1) el valor crítico correspondiente a la probabilidad 0,975

  • Calculamos la zona de aceptación:

(6-1,96*0,4 ; 167+1,96*0,4)= (5,22;6,78)

  • El valor obtenido en la muestra es m=5,6 y como 5,6Î(5,22;6,78) aceptaremos la hipótesis nula

En otra muestra de 81 estudiantes se obtuvo una nota media de 6,2. ¿Se confirma la hipótesis anterior a un nivel de significación de 0,01?

 

EJEMPLO 2

Se cree que la altura media de los habitantes de cierta población es como mucho 170 cm, con una desviación típica de 8 cm. En una muestra de 100 personas se observa una altura media de 172 cm. ¿Podemos aceptar la hipótesis con un nivel de significación del 5%?

Ho: µ £ 170 ; H1: µ > 170 (contraste unilateral)

  • Para a=0,05 za=1,645

Comprueba en la tabla N(0,1) el valor crítico correspondientes a la probabilidad 0,95

  • Calculamos la zona de aceptación

(-¥ ; 170+1,645*0,8)=(-¥ ; 171,32)

El valor obtenido en la muestra es m=172 y como 172Ï(-¥ ; 171,32) rechazaremos la hipótesis nula

¿Si el nivel de significación fuese 0,01 se aceptaría la hipótesis anterior?

Contraste de hipótesis sobre la proporción

Contraste bilateral

Ho: p = po ; H1: p ¹ po

 a) Establecer la hipótesis Contraste unilateral

Ho: p ³ po ; H1: p < po
buscamos za/2 tal que P(-za/2 £z£ za/2 )=1-a

 Las proporciones muestrales se distribuyen

2) Elegir el nivel de significación a y determinar la zona de aceptación a partir del

INTERVALO DE CONFIANZA

 buscamos za tal que P(z ³ -za ) = 1-a
p´Î aceptamos Ho

p´Ï rechazamos Ho

 3) Verificación

4) Decisión

 p´Î aceptamos Ho

p´Ï rechazamos Ho

 

EJEMPLO 3

Se realizan 200 lanzamientos de una moneda y salen 120 caras, ¿podemos aceptar que la moneda no está trucada con un nivel de significación del 5%?

Ho: p = 0,5 ; H1: p ¹ 0,5 (contraste bilateral)

  • si Ho es cierta la distribución muestral es N(0,5;0,035)
  • Para a=0,05 a/2=0,025 za/2=1,96

Comprueba en la tabla N(0,1) el valor crítico correspondiente a la probabilidad 0,975

Zona de aceptación

(0,5-1,96*0,035 ; 0,5+1,96*0,035)=

(0,431;0,569)

La proporción de caras en la muestra ha sido 120/200=0,6 que no pertenece a la zona de aceptación, por lo que no aceptamos la hipótesis nula, es decir creemos que la moneda está trucada

¿Aceptariamos que la moneda no está trucada con un nivel de significación del 1%?

 

EJEMPLO 4

Una máquina fabrica piezas de precisión y se garantiza que la proporción de piezas correctas producidas es al menos del 97%. Un cliente recibe un lote de 200 piezas y aparecen 8 piezas defectuosas; a un nivel de confianza del 95% ¿rechazará el lote por no cumplir las condiciones de la garantía?

Ho: p ³ 0,97 ; H1: p < 0,97 (contraste unilateral)

  • Para a=0,05 za=1,645

Comprueba en la tabla N(0,1) el valor crítico correspondientes a la probabilidad 0,95

zona de aceptación

(0,97+1,645*0,02 ; +¥)=(0,95; +¥)

La proporción de piezas correctas en la muestra es p´=192/200=0,96 y como 0,96Î(0,95; +¥) se acepta la hipótesis nula y por consiguiente el lote

Si la muestra hubiese sido de 300 piezas con 285 correctas, ¿se aceptaría el lote al 10% de significación?

 

Posibles errores en el contraste de hipótesis

El contraste de hipótesis es el procedimiento que nos permite decidir si una hipótesis se acepta o se rechaza o el determinar si las muestras observadas difieren significativamente de los resultados esperados. En este proceso podemos incurrir en dos tipos de errores según sea la situación real y la decisión que tomemos.

  Ho verdadera Ho falsa
DECISIÓN: Mantener Ho Decisión correcta Decisión incorrecta

Error de tipo II
DECISIÓN: Rechazar Ho Decisión incorrecta

Error de tipo I

 Decisión correcta

Comprueba que la probabilidad de cometer un error de tipo II disminuye al aumentar el tamaño de la muestra (n). Comprueba también lo que ocurre al variar la diferencia entre la media hipotética de la población y la verdadera.

 

Mª José García Cebrian

 

 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000