LÍMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES |
2.- CONTINUIDAD
DE UNA FUNCIÓN
La idea de función contínua es la de que puede ser construida en un solo trazo
He aquí varias razones por las que una función puede ser
discontínua en un punto:
A) Tiene ramas infinitas en ese punto:
| En este tipo de funciones el denominador se hace cero para x=a, por lo que hay una rama infinita en x=a
El punto de DISCONTINUIDAD es x=a Si vas dando valores distintos a x, abcisa del punto P de la función ¿qué ocurre cuando x=a? Puedes cambiar el valor de a en la escena y viendo las distintas funciones que tienen un punto de DISCONTINUIDAD en x=a Este tipo de funciones se da de forma "natural" y no están definidas en el punto en que son discontínuas. |
B) Presenta un salto
| Esta es una función definida a trozos |
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| El punto de DISCONTINUIDAD es x=a
Puedes cambiar el valor de a en la escena e irán dibujándose distintas funciones. El punto (a,a) verde es de la función, pues para x £ a es y=x El punto (a,1) (hueco) no pertenece a la función pues y es igual a 1 sólo para x>a El punto rojo indica el valor de x donde la función NO ES CONTÍNUA. ¿Para que valor de a la función que se representa es CONTÍNUA? |
Este tipo de funciones no se da de forma "natural", hay que "fabricarlas" expresamente, y están definidas en el punto en que son discontínuas.
C) No está definida (le falta un punto)
En la escena siguiente, la función NO ES CONTÍNUA en x=a porque para ese valor se hace cero el denominador. Pero existe
para el resto de valores de x.
Solamente le falta un punto.
| Su DOMINIO es D=R-{a} En la escena el punto cuya
abcisa es x=a está rodeado por un pequeño círculo hueco,
para indicar que es el único punto que le falta a la gráfica para ser contínua.
Este tipo de funciones se da de forma "natural" y no están definidas en el punto en que son discontínuas. |
D) El punto
que le falta lo tiene desplazado
El Dominio de esta función es R, o sea existe para cualquier valor real de x,
pero NO ES CONTÍNUA en x=a
El punto (a,a) (en hueco) no pertenece a la
función, se ha desplazado al punto (a,1) que si pertenece a
la función.
| El punto P es un punto cualquiera de la
función. Comprueba lo que ocurre cuando introduces en la escena el valor x=a de la abcisa de P
Para distintos valores de a van apareciendo funciones similares a la del inicio. Pero hay un valor de a para el cual tendremos una función contínua y ya no habrá huecos en la gráfica. ¿Cuál es ese valor de a? Este tipo de funciones no se da de forma "natural", hay que "fabricarlas" expresamente, y están definidas en el punto en que son discontínuas. |
Es interesante observar que las funciones A) y C), las únicas que presentan discontinuidades de forma ,
no están definidas en el punto en que son discontínuas.
Esto es general y nos va a permitir dar un criterio eficaz y
sencillo.
2.2.- CRITERIO PARA RECONOCER FUNCIONES CONTÍNUAS
| Todas las funciones definidas por expresiones analíticas elementales (es decir, todas las que conocemos hasta el momento) son contínuas en todos los puntos en los que están definidas. |
EJEMPLOS:
y = x3 - 3x + 2 está definida en todo R. Por tanto es contínua en todo R.
es contínua
en todos los puntos, salvo en x = -3, en donde no está definida.
Autora: Ángela Núñez Castaín
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| Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000 | ||