Limite_continuidad1

1.- DOMINIO DE DEFINICIÓN DE UNA FUNCIÓN

En esta escena están representadas dos funciones: f1: y = x² + 8x + 15 y f2: y =
También puedes ver un punto P de la función polinómica f1 y un punto Q de la radical f2, con sus respectivas coordenadas.
Con los botones inferiores puedes cambiar las abcisas de ambos puntos, viendo como cada punto recorre su gráfica.

EJERCICIO 1
Escribe en tu cuaderno las respuestas a las siguientes preguntas, razonándolas con la ayuda de la escena:

a) ¿Existe la función

y = x² + 8x + 15 para cualquier valor de x?

b) ¿Qué ocurre cuando le das a x (Q.x) un valor negativo en la función ? ¿Existe esta función para cualquier valor de x?

Habrás podido deducir del ejercicio anterior que la función polinómica y = x² + 8x + 15 existe para cualquier valor de x, o sea podemos dar a x un valor cualquiera y siempre se obtendrá un valor real de y. Decimos que esta función está definida en todo R (números reales) o bien su dominio de definición es R o (-¥,¥).
Sin embargo la función y = no existe cuando x es negativo, no podemos dar a x valores negativos. Su dominio de definición es [0,¥).


y = x² + 8x + 15	y =

PRIMERA CONCLUSIÓN
Las funciones polinómicas tienen D=R
Las funciones con raíces cuadradas, o de índice par, no existen cuando el radicando es negativo.

1.1.- Cálculo del dominio de funciones radicales de un polinomio de primer grado

1.1.1.- Gráficamente
En esta escena está representada la función

, y la función que aparece en el radicando, o sea debajo de la raíz, y = ax +b

ax+b³0	y=ax+b positiva	Þ	gráfica de y=ax+b encima eje X	Þ	EXISTE
	ax+b nº positivo	Þ	es nº real
ax+b<0	y=ax+b negativa	Þ	gráfica de y=ax+b debajo eje X	Þ	NO EXISTE
	ax+b nº negativo	Þ	no es nº real

Fíjate bien en los valores de x que hacen que la función y=ax+b esté por encima del eje X, para esos valores de x (dominio) existe la función

Prueba distintos valores de a y b que originarán distintas funciones , e intenta adivinar para qué valores de x existe la función
Esos valores de x son el DOMINIO de la función
Por EJEMPLO en el inicio de esta escena vemos que el DOMINIO de la función
es D = [1, ¥) ponemos un corchete en el 1 para indicar que 1 pertenece al dominio, o sea que la función existe para x=1

Y si das los valores a=-3 y b=5, verás que el DOMINIO de la función

es D = (-¥, 5/3]

Analíticamente para hallar el DOMINIO de la función , se resuelve la inecuación ax+b³0, de donde se deduce el DOMINIO.

Por ejemplo para hallar el DOMINIO de la función se procede así:
x-1 ³ 0 Þ x ³ 1 Þ a partir 1 hacia la derecha Þ D = [1, ¥)

Y para hallar el DOMINIO de la función así:
-3x + 5 ³ 0 Þ -3x ³ -5 Þ 3x £ 5 Þ x £ 5/3 Þ a partir de 5/3 hacia la izquierda Þ D = (-¥, 5/3]

EJERCICIO 2
Calcula analíticamente en tu cuaderno el DOMINIO de las siguientes funciones, comprobando tus resultados en la escena anterior:
a) b)

1.2.- Cálculo del dominio de funciones radicales de un polinomio de segundo grado

El DOMINIO de las funciones serán los valores de x para los cuales ax²+bx+c³0

1.2.1.- Gráficamente
En esta escena está representada la función

, y la función que aparece en el radicando, o sea debajo de la raíz, y = ax² +bx+c

ax²+bx+c³0	y=ax²+bx+c positiva	Þ	gráfica de y=ax²+bx+c encima eje X	Þ	EXISTE
	ax²+bx+c nº positivo	Þ	es nº real
ax²+bx+c<0	y=ax²+bx+c negativa	Þ	gráfica de y=ax²+bx+c debajo eje X	Þ	NO EXISTE
	ax²+bx+c nº negativo	Þ	no es nº real

Fíjate bien en los valores de x que hacen que la función y=ax²+bx+c esté por encima del eje X, para esos valores de x (dominio) existe la función

Prueba distintos valores de a, b y c que originarán distintas funciones
e intenta adivinar para qué valores de x existe la función
Esos valores de x son el DOMINIO de la función
Por EJEMPLO en el inicio de esta escena vemos que el DOMINIO de la función
es D = (- ¥, -1]U[3, ¥)

EJERCICIO 3
Calcula en tu cuaderno el DOMINIO de las siguientes funciones, representando previamente las funciones que aparecen debajo de la raíz, y comprobando tus resultados en la escena anterior:
a) b) c)
d) e) f)

Analíticamente para hallar el DOMINIO de la función , se resuelve la inecuación ax² +bx+c³0, de donde se deduce el DOMINIO.

Para ello se resuelve la ecuación ax² +bx+c = 0 y se pueden dar tres casos:

A) La ecuación tiene dos soluciones reales distintas x₁ y x₂ , por tanto se anula en dos puntos, en los cuales la función cambia de signo.
La factorización será: y=ax²+bx+c = a (x-x₁)(x-x₂)
Se divide la recta real en tres intervalos (-¥,x₁); (x₁,x₂); (x₂,¥) suponiendo x₁< x₂
Y se estudia el signo del producto a (x-x₁)(x-x₂) a través del de sus factores:

B) La ecuación tiene una solución real doble x₁ , por tanto se anula en un sólo punto, y en los demás la función tiene siempre el mismo signo.
La factorización será: y=ax²+bx+c = a (x-x₁)² En este caso (x-x₁)² ³0 siempre

a>0	a(x-x₁)²³0	Solución inecuación ax²+bx+c³0	R todos los n^os reales	DOMINIO de la función	D=R
a<0	a(x-x₁)²£0	Solución inecuación ax²+bx+c³0	x = x₁	DOMINIO de la función	D=x₁

C) La ecuación no tiene solución real
y=ax²+bx+c no se factoriza, no se anula en ningún punto, y la función siempre tiene el mismo signo.

a>0	ax²+bx+c>0	Sol.inecuación ax²+bx+c³0	R todos los n^os reales	DOMINIO de la función	D=R
a<0	ax²+bx+c<0	Sol.inecuación ax²+bx+c³0	_{No hay solución real}	DOMINIO de la función	No existe la función

Todo esto parece muy complicado, pues al final no son tres casos, sino seis, pues de cada apartado hemos sacado dos.
La mejor forma de tener claro el cálculo del DOMINIO de las funciones
es hacer el estudio analítico y a continuación el gráfico, para entender mejor cada caso.
Resuelve detenidamente el ejercicio siguiente y te aseguro ÉXITO

EJERCICIO 4
Dadas las funciones:
a) b) c)
d) e) f)
Primero) Coges la primera y hallas su DOMINIO analíticamente según las instrucciones dadas en el apartado 1.2.2 de esta unidad y que está más arriba en esta misma página.
Segundo) Introduces los valores de a, b y c en la escena de más arriba y que pertenece al apartado 1.2.1 de esta misma página, para ver su DOMINIO gráficamente.
Tercero) Repite los aparatados anteriores para las demás funciones.
Las seis funciones dadas corresponden a los seis casos posibles que se pueden dar, pero no están en el mismo orden.


	Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000

LÍMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES