Puntos Críticos II

Puntos críticos

Introducción

En la página anterior hemos tratado los puntos singulares, que son aquellos donde la derivada se anula, f'(x)=0, y la recta tangente a la curva es horizontal.

Estos puntos deben tomarse en cuenta cuando se buscan los extremos absolutos de una función, puesto que en un punto singular puede haber un máximo o mínimo local. Pero también hay otros en los que debemos fijarnos que sin ser puntos singulares, también pueden ser extremos locales; puntos donde la función no es derivable.

Además, un punto extremo absoluto (máximo o mínimo global) podrá ser encontrado en los extremos a ó b del intervalo [a,b] donde se define la función.

Si esto dicho no se recuerda, consultar el programa Descartes en la introducción de la página anterior.

Concepto

Por punto crítico se entiende: un punto singular, un punto donde no exista la derivada o un punto extremo a ó b del dominio [a,b] de definición de la función.

El siguiente teorema sobre acotación, referido a funciones continuas, corresponde ser tratado en una lección sobre funciones continuas (de hecho el alumno debiera conocerlo ya) sin embargo lo incluimos aquí dado que el interés por los puntos críticos está relacionado con la búsqueda de valores extremos en un cerrado [a,b]

Teorema (de los extremos absolutos de Weierstrass)

Sea f(x) una función continua en [a,b]. Entonces f(x) alcanza un máximo y un mínimo absolutos sobre [a,b].

No hacemos la demostración, que tiene otro lugar, pero podemos ilustrarlo con algunas figuras que nos ayuden a comprender su significado dado que vamos a aplicarlo en la resolución de problemas.

La función es continua en el intervalo [a,b], toma el valor menor en x=c y el valor mayor en x=d, y además son extremos locales.
La función es continua en el intervalo [a,b], toma el mayor valor en el extremo x=a del intervalo y el menor valor en x=c, que además es mínimo local
La función presenta una discontinuidad en el punto c, siendo a < c < b. El menor valor de la función corresponde a x=a, pero no tiene valor máximo.

El teorema garantiza la existencia de máximo y mínimo de la función bajo condiciones de continuidad. Si la función es discontinua en un cerrado [a,b], puede no tener ni máximo, ni mínimo ni ambos. Pero puede suceder que una función sea discontinua en algunos puntos del intervalo [a,b] y sin embargo presentar a la vez máximo y mínimo.

La función f(x) se define en el cerrado [0,1] de forma que f(x)=x, si 0£ x<1 y f(1)=1/2. Presenta una discontinuidad, en x=1. Alcanza el mínimo en x=0 pero no tiene máximo
La función definida en el cerrado [-1,1] de forma que f(x)=x³ si x¹0 y f(0)=1/2, presenta una discontinuidad en x=0 y sin embargo alcanza el mínimo en x=-1 y el máximo en x=1
La función es continua en el abierto (a,b) y alcanza los dos extremos en c y d dentro del mismo.

El teorema es una condición suficiente para encontrar extremos absolutos en el intervalo cerrado, pero no es necesaria. Si la función no fuera continua o si el intervalo no fuera cerrado, es posible que presente extremos absolutos.

Teorema de Rolle

El siguiente teorema es un caso particular del teorema del valor medio que será tratado en otro lugar. Sin embargo lo presentamos aquí dado que proporciona una condición necesaria para la existencia de singularidades.

Teorema de Rolle

Si f(x) es una función continua en el cerrado [a,b] y derivable en el abierto (a,b) y además f(a)=f(b), entonces existe al menos un cÎ (a,b), tal que f'(c)=0

Demostración: Puesto que f es continua en [a,b], alcanza un valor máximo y un mínimo en [a,b].

Si el valor máximo ó mínimo se presenta en cÎ (a,b), puesto que la función es derivable, entonces necesariamente f'(c)=0.

Si el valor máximo o mínimo se presenta en a o en b, puesto que f(a)=f(b) los valores máximo y mínimo coinciden y la función debe ser constante en [a,b]: en este caso para todo cÎ (a,b) se deberá cumplir f'(c)=0.

En los tres primeros ejemplos se satisface las condiciones del T. de Rolle y existe la singularidad f'(c)=0

En los tres siguientes ejemplos falla alguna de las condiciones del T. de Rolle y no existe la singularidad.
	Discontinua en [a,b] y derivable en (a,b)

Discontinua en [a,b] y no derivable en (a,b)	Continua en [a,b] y no derivable en (a,b)
El teorema de Rolle es una condición necesaria pero no suficiente ya que hay funciones donde f'(c)=0 y no se cumple alguna de las condiciones del T. de Rolle
	Es continua no es derivable y verifica f'(c)=0, cÎ (a,b)

Técnica para el cálculo de extremos absolutos en intervalos cerrados

Si una función es continua en un intervalo cerrado [a,b] debe alcanzar sus extremos absolutos en este intervalo; para encontrar estos extremos debe analizarse los puntos críticos:

La singularidades, xÎ (a,b) tales que f' (x)=0

Los puntos donde no existe f'(x)

Los puntos a y b

Ejercicios

1: Sea la función f(x)= e^x-1. Estudiar las funciones f(x), f(|x|) y |f(x)| con objeto de determinar los valores críticos y obtener los extremos que alcanza la función en el intervalo [-1,1].

El programa Descartes del margen izquierdo visualiza dicha funciones y sus derivadas primeras a la vez que proporciona los valores de las funciones para todo x del dominio.

El parámetro función toma los valores 1,2 y 3 correspondientes a cada función propuesta.

El parámetro derivada puesto a uno visualiza la función derivada correspondiente a la función.

El parámetro dec permite variar a voluntad el número de cifras decimales con que se muestran los resultados.

Resuelva el alumno el problema de forma analítica y verifique la solución con ayuda del programa.

2: Las funciones e^|x|-1 y 1-x^4/5 toman valores iguales en los extremos del intervalo [-1,1]. Demuestra que la derivada de estas funciones no se anulan en ningún punto del intervalo. ¿Contradice este resultado el Teorema de Rolle? ¿Por qué?

Indicación: e^|x|-1 puede ser consultada en el programa Descartes anterior (función=2). La segunda puede ser visualizada poniendo función=0 y reemplazando la entrada y=f(x) del programa por y=1-abs(x)^(4/5) que es equivalente a la dada y la puede representar para (-1,1) cosa que no hace con la dada que solo la representa para x>=0.

Soluciones:

1: Los extremos de las funciones en el cerrado [-1,1] se averiguan calculando los valores críticos.
a) f(x)=e^x-1, es continua y derivable en [-1,1] y derivable en (-1,1). Su derivada f'(x)=e^x es positiva en el cerrado por tanto no presenta puntos singulares. Por ser f'(x)>0 la función f(x) es estrictamente creciente y los extremos se alcanzarán en -1 y 1.

f(-1)=e^-1-1=1/e -1=-0.6321; f(1)=e¹-1=1.7182.

Conclusión: En x=-1 se alcanza el mínimo absoluto y en x=1 se alcanza el máximo absoluto.

b) f(|x|)=e^|x|-1 se define como e^x-1 si x>=0; e^-x-1 si x<0. La función es continua en x=0 pues los límites laterales son e⁰-1=0 y e^-0-1=0 y coinciden.

La función derivada será

f'(|x|)=e^x si x>0 y f'(|x|)=-e^-x si x<0, luego podemos investigar un punto crítico en x=0. Como f'_-(0)=e⁰=1 y f'₊(0)=-e^-0=-1 no coinciden, la función f(|x|)=e^|x|-1 no es derivable en x=0 y constituye un punto crítico cuyo valor es f(|0|)=e^|0|-1=1-1=0

Por ser f'(|x|)>0 para x>=0 la función es creciente para x>=0 y no hay singularidades.

Por ser f'(|x|)<0 para x<0 la función es decreciente para x<0 y no hay singularidades.

Basta por tanto calcular los valores en x=-1 y x=1:

f(|-1|)=e^-(-1)-1=e-1=3.7182 ; f(|1|)=e¹-1=e-1=3.7182

Conclusión: x=0 es un mínimo absoluto y x=-1 y x=1 son máximos absolutos

c) |f(x)|=|e^x-1| es continua en [-1,1], por serlo e^x-1 y se define como sigue:

|f(x)|=e^x-1 si e^x>=1 Û x >=0; |f(x)|=-e^x+1 si e^x<1 Û x < 0

Calculemos los puntos críticos:

La derivada es

|f(x)|'=e^x si x>0 y |f(x)|'=-e^x si x<0. Como las derivadas laterales en x=0 son, por la izquierda -1 y por la derecha 1 y no coinciden la función no es derivable en x=0 y constituye un punto crítico cuyo valor es |f(0)|=|e⁰-1|=0

Veamos si hay singularidades:

Para x<0, |f(x)|'=-e^x es siempre negativa y no hay singularidades (función estrictamente decreciente.

Para x>0, |f(x)|'=e^x es siempre positiva y no hay singularidades (función estrictamente creciente).

Resta evaluar la función en los extremos del intervalo:

Para x=-1: |f(-1)|=-e^-1+1=-1/e+1=0.6321

Para x=+1: |f(+1)|=e⁺¹-1=e-1=1.7182

Conclusión: los puntos críticos son x=0, x=-1 y x=1 y los extremos de la función se alcanzan en x=-1 Mínimo y x=+1 Máximo

2: El teorema de Rolle asegura que si la función es continua en [-1,1], derivable en (-1,1) y f(-1)=f(1) entonces existe un c en (-1,1) donde la derivada se anula.

Si falla alguna premisa no puede garantizarse esto. Y esto es lo que ocurre con estas funciones:

a) f(x)=e^|x|-1 es continua en [-1,1], f(-1)=f(1)=e-1, pero no es derivable en (-1,1), como ya ha sido visto en el problema anterior.

b) f(x)=1-x^4/5 es continua en [-1,1], f(-1)=f(1)=0, pero no es derivable en (-1,1). Como puede verse en la expresión f'(x)=-(4/5)x^-1/5=-(4/5) / x^1/5 que no está definida en x=0.

3: a) Sea la función f(x)=|4x³-3x²| definida en [-1,1]. La función es continua en [-1,1] por serlo en R (valor absoluto de una polinómica).

Estudiemos donde cambia el signo del polinomio 4x³-3x². Calculemos los ceros: 4x³-3x²=0 <-> x²(4x-3)=0 -> x=0; x=3/4. Puesto que x²>=0 para todo x, el signo de f(x) es el signo del factor 4x-3: 4x-3>0 <-> x>3/4 y 4x-3<0 <-> x<3/4.

Podemos definir la función así:

f(x)=4x³-3x²para x>=3/4; f(x)=-(4x³-3x²)=-4x³+3x² para x<3/4

La no derivabilidad hay que estudiarla en x=3/4 (empalme de las curvas)

f'(x)=12x²-6x para x>3/4; f'(x)=-12x²+6x para x<3/4. Tomando límites laterales de f'(x) en x=3/4 obtenemos f'₊(3/4)=9/4 y f'_-(3/4)=-9/4. No existe f'(3/4).

Un punto crítico es x=3/4 donde la función no es derivable. Como a la izquierda de x=3/4 f'(x) es negativa y a la derecha es positiva, la curva pasa de decreciente a creciente y en x=3/4 hay un mínimo local.

Veamos otros posibles extremos locales de la función, donde se anule la derivada:

En x<3/4, f'(x)=0 <-> -12x²+6x=0 <-> -6x(2x-1)=0 -> x=0; x=1/2

En x>3/4, f'(x)=0 <->12x²-6x=0 <-> 6x(2x-1)=0 -> x=0; x=1/2, que no pertenecen al intervalo x>3/4.

Por tanto los posibles extremos locales están en x=0 y x=1/2. Para discriminarlos veamos el signo de la derivada segunda:

Para x<3/4, f''(x)=-24x+6: f''(0)=6>0; f''(1/2)=-6<0.

Otros puntos críticos localizados son x=0 ( mínimo) y x=1/2 (máximo).

Los extremos el intervalo x=-1 y x=1 también son puntos críticos.

Los extremos absolutos se estudian en los puntos críticos:

f(-1)=7; f(1)=1; f(0)=0; f(1/2)=1/4; f(3/4)=0.

Conclusión: x=-1 es un punto máximo absoluto y x=0, x=3/4 son mínimos absolutos

b) Sea la función f(x)=x²-|x|-2, que es continua en [-2,1].

Para x>=0, f(x)=x²-x-2 y para x<0, f(x)=x²+x-2.

La función derivada quedará definida por

f'(x)=2x-1 para x>0 y f'(x)=2x+1 para x<0. Veamos que ocurre en x=0. Las derivadas laterales en x=0 son f'₊(0)=-1 y f'_-(0)=1. La derivada en x=0 no está definida y es por tanto un punto crítico; f(0)=-2

Si observamos f'(h)<0, para x>0 y arbitrariamente pequeño y f'(-h)>0 por tanto x=0 es un máximo local.

Determinemos ahora las singularidades, igualando a cero la derivada:

Para x>0, f'(x)=2x-1=0 ->x=1/2. f''(1/2)=2>0. Por tanto x=1/2 es un mínimo local y f(1/2)=-9/4.

Para x<0, f'(x)=2x+1=0 ->x=-1/2, f''(-1/2)=2>0. Par tanto x=-1/2 es un mínimo local y f(-1/2)=-9/4.

Los extremos absolutos o globales en [-2,1] se escogerán de entre los valores

f(-2)=0; f(-1/2)=f(1/2)=-9/4 y f(0)=-2

Conclusión: El máximo absoluto se alcanza en x=-2 y el mínimo absoluto en x=-1/2 y en x=1/2.

4: a) Sea la función f(x)=2x+3x^2/3 continua en [-4,1]. Para hallar los puntos críticos estudiemos la derivada:

f' (x) = 2+2x^-1/3=2(1+1/x^1/3)=2(1+x^1/3)/x^1/3

igualándola a cero obtenemos 1+x^1/3=0 -> x=-1. Entonces x=-1 es un punto singular. Si x=-1-h, donde h>0 y arbitrariamente pequeño, entonces f'(-1-h)>0; si, por el contrario, x=-1+h, se tiene f'(-1+h)<0. Por consiguiente x=-1 es un máximo local y f(-1)=1.

Igualando a cero el denominador de f'(x), obtenemos x=0. Es un punto crítico donde no existe derivada (f'(0)=+inf). Además se puede reconocer que es mínimo local f(0)=0, pues en el entorno (-h,h) tenemos que f(x)>=0.

Los extremos absolutos se obtienen de entre los valores siguientes:

f(-4)=-0.44; f(1)=5; f(-1)=1; f(0)=0

Conclusión: x=-4 es el punto mínimo absoluto (o extremo inferior) y x=1 el punto máximo absoluto (o extremo superior).

b) Sea la función f(x)=x^4/3+4x^1/3, continua en [-4,1]. Para hallar los puntos críticos, estudiemos la derivada:

f'(x)=(4/3)(x+1)x^-2/3=4(x+1)/(3x^2/3)

Igualándola a cero obtenemos x+1=0 -> x=-1. Entonces x=-1 es un punto singular. Si x=-1-h, h>0 y arbitrariamente pequeño, f'(x)<0; si x=-1+h, f'(-1+h)>0. Por tanto en x=-1 hay un mínimo local y f(-1)=-3.

Igualando a cero el denominador de f'(x) tenemos x=0. Es un punto crítico donde no existe derivada (f'(0)=+inf). Además f'(-h)>0 y f'(h)>0, luego la función es creciente en x=0 con tangente vertical (¿inflexión? Razónese verificando que en x=0 cambia la curvatura al observar el cambio de signo de la derivada segunda); f(0)=0

Los extremos absolutos se obtendrán de entre:

f(-4)=0; f(-1)=-3; f(0)=0; f(1)=5

Conclusión: x=-1 es el punto mínimo absoluto (extremo inferior) y x=1 el punto máximo absoluto (extremo inferior)


	Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000