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Puntos singulares

 

Introducción

Sea una función y=f(x) definida en el dominio Df

El estudio de la existencia de valores extremos de una función nos sirve de modelo para resolver problemas de optimización en diversas situaciones del ámbito económico, científico, técnico,...

El concepto de punto crítico y el de derivada en un punto de la función f(x) nos servirán de herramientas en la localización de valores extremos.

Monotonía

  • La función f(x) es creciente en el intervalo I Ì Df si para todo par de puntos x1, x2ÎI , con x1< x2,se tiene que f(x1)£f(x2).  Se dice estrictamente creciente si f(x1)<f(x2).

  • La función f(x) es decreciente en el intervalo I Ì Df si para todo par de puntos x1, x2ÎI , con x1< x2,se tiene que f(x1)³f(x2).  Se dice estrictamente decreciente si f(x1)>f(x2).

Extremo absoluto de una función.

  • La función f(x) tiene un máximo absoluto en x0 si f(x)£f(x0) para todo xÎDf

  • La función f(x) tiene un mínimo absoluto en x0 si f(x)³f(x0) para todo xÎDf

Extremo relativo o local de una función.

  • La función f(x) tiene un máximo relativo en x0 si existe un valor h >0 tal que f(x)£f(x0) para todo xÎ]x0-h,x0+h[ Ì Df

  • La función f(x) tiene un mínimo relativo en x0 si existe un valor h >0 tal que f(x)³f(x0) para todo xÎ]x0-h,x0+h[ Ì Df
La función f(x) está definida en el Df=[-6,6]. Si vamos recorriendo la variable x dentro del dominio encontramos una serie de puntos característicos, A, B, C, D, E, F y G

Existen dos discontinuidades por salto finito en B y en F y por lo tanto en ellos la función no es derivable, sin embargo en B hay máximo local pues cumple con la definición de extremo local. Mientras que en F no hay ni máximo ni mínimo.

En E(2 , 1) hay continuidad pero la función no es derivable por presentar un punto anguloso (las derivadas laterales en x=2 no coinciden, f-'(2) ¹ f+'(2) ).

En C(-2 , -3) encontramos un mínimo local, que además es mínimo absoluto, dado que f(x) ³ f(-2)=-3  para todo xÎDf. Además por ser derivable en x=-2, se cumple que f'(-2)=0

En D(1 , 3.75) la función es derivable y por ser un máximo local se cumple que f'(1)=0.

Finalmente el punto G(6 , 6) es un máximo absoluto, dado que f(x) £ f(6)=6 para todo xÎDf.

Es importante observar que los extremos de la función, cuyo dominio  es [-6,6] han sido localizados en x=6, y en el interior (-6,6) donde existía discontinuidad o donde f'(x)=0. Los puntos son llamados puntos críticos.
Puntos singulares

Los valores reales en los que se anula la derivada de una función  f(x) se denominan puntos singulares ó estacionarios

Si f ´(x)=0 en x1, x2, x3, . . . , xn, entonces x1, x2, x3, . . . , xn son puntos singulares de f(x).

Los valores f(x1), f(x2), f(x3), . . . , f(xn), se llaman valores singulares.

Es importante saber que puede ocurrir en un punto singular.

En un punto singular la función puede presentar un extremo local ó no, conviene distinguir muy bien las situaciones.

El estudiante ya debe conocer los siguientes teoremas referidos a los extremos locales:

Teorema (condición necesaria de extremo relativo): Sea una función definida en el intervalo abierto (a, b). Si x0 es un extremo local de f(x) en (a,b) y f(x) es derivable en x0, entonces f ´(x0)=0.

Recordará que la condición necesaria para que exista máximo o mínimo relativo de f(x) en x0, es que se anule su derivada primera, es decir la tangente a la curva en x0 es horizontal. 

El reciproco de este teorema no es cierto: Es decir si una función tiene derivada nula en x0, no necesariamente la función tiene un extremo local en x0.

El alumno puede confirmar lo dicho anteriormente consultando el programa Descartes preparado en el margen derecho. En el se muestran dos funciones y en ambas se da el caso de existencia de puntos singulares, f'(x)=0; si bien en el caso de la función f(x)=x^3-3*x, se verifica f'(-1)=0, f'(1)=0 siendo x=-1 un punto máximo local   y x=1 un punto mínimo local; en el caso de la función f(x)=0.5*x^3, se verifica que f'(0)=0 siendo x=0 un punto de inflexión donde la función es creciente.

Teorema (condiciones suficientes de extremos relativos): Sea una función f(x) definida y derivable en (a,b). Si en x0 Î (a,b) se cumple:
  •  f'(x0)=0 y f''(x0) >0 entonces f(x) alcanza un mínimo local en x0.

  • f'(x0)=0 y f''(x0) < 0 entonces f(x) alcanza un máximo local en x0.

Este teorema de suficiencia se puede  justificar con el ejemplo del programa Descartes del margen derecho para el caso de la función  f(x)=x^3-3x.

Analíticamente, si quisiéramos hallar los extremos relativos de esta función procederíamos así:

f'(x)=3x2-3=0 implica x=+1, x=-1 (posibles extremos)

f''(x)=6x. Como f''(-1)=-6<0 tenemos en x=-1 un máximo.

Como f''(1)=6>0 tenemos en x=1 un mínimo.

Los valores extremos son: f(-1)=2 (máximo) y f(1)=-2 (mínimo).

Punto singular donde cambia la curvatura (inflexión)

En el ejemplo del programa Descartes, nos referimos a la función f(x)=0.5*x^3. Para localizar los puntos singulares igualamos a cero la derivada primera f'(x)= 1.5*x^2

1.5x^2=0 implica x=0. Veamos ahora que información aporta la derivada segunda f''(x)=3*x 

para x=0 comprobamos que f''(0)=0 y siendo 

la derivada tercera f'''(x)=3

se cumple que f'''(0)=3 que es distinta de 0. Hemos obtenido sucesivamente f'(0)=f''(0)=0 y f'''(0) > 0, este dato nos informa de la monotonía de f(x) y nos dice que la función es creciente en x=0. La explicación que podemos hacer aquí es la siguiente:

la derivada segunda f''(0)=0 nos anuncia un posible cambio en la curvatura ya que cuando f''(x) < 0 la función es cóncava (decrece la derivada primera) y cuando f''(x ) > 0  es convexa (crece la derivada primera) y efectivamente esto es lo que ocurre con f'(x)=1.5x^2 (parábola con mínimo en x=0), para x<0 es decreciente y para x>0 es creciente. Luego la función pasa por x=0 de cóncava a convexa creciendo. 

El alumno puede comprobar en las imágenes de la derecha esta circunstancia para la mencionada función.

Teorema. Condición suficiente de monotonía y extremos relativos (Caso general)

Sea un punto x=x0 tal que f(x) tiene n derivadas sucesivas continuas y además 

f'(x0)= f''(x0)= f'''(x0)= ... =f n-1)(x0) = 0; f n)(x0) ¹ 0

Si n es par:

f n)(x0) > 0 entonces f(x) tiene un mínimo relativo en x0

f n)(x0) < 0 entonces f(x) tiene un máximo relativo en x0

Si n es impar

x0 es un punto de inflexión y además

f n)(x0) > 0 entonces f(x) es creciente en x0

f n)(x0) < 0 entonces f(x) es decreciente en x0

 

El programa permite visualizar de forma alternativa, dos funciones,(fun=1, fun=2) la recta tangente a la curva en el punto actual x y la función derivada (der=1).

 La primera f(x)=x^3-3*x es derivable en (-2,2) y presenta dos extremos locales en x=-1 (máximo) y en x=1 (mínimo); en estas condiciones se cumple que f'(-1)=0 y f'(1)=0.

La segunda f(x)=0.5*x^3, también es derivable en (-2,2) y aunque en x=0 la derivada es nula, f'(0)=0, no hay extremo local, la función es creciente en x0, y este punto singular es un punto de inflexión (pues se invierte la curvatura al pasar por él).

Esta observación nos permite afirmar que la condición necesaria para que haya extremo local en x0 es que f'(x0)=0, pero no es suficiente, es decir tiene que darse alguna otra circunstancia adicional.

Para averiguar cual es la condición necesaria y suficiente para que en un punto que sea derivable, exista un extremo local, comprobemos el comportamiento de la función derivada al pasar por el punto singular donde f'(x0)=0. Volvamos al programa anterior y seleccionemos la primera función (fun=1) y su derivada (der=1).

Fijémonos en el máximo local: como la función f(x)=x^3-3*x es creciente a la izquierda de x=-1 y decreciente a la derecha de x=-1 la función derivada pasa de ser positiva a negativa, es decir decrece, como consecuencia la derivada segunda f''(x0) es negativa.

En el caso de x=1 ocurre con f(x) lo contrario por presentar un mínimo local; a la  izquierda de x=1 decrece y a la derecha crece, luego la derivada f'(x) pasa de ser negativa a ser positiva, es decir crece, como consecuencia la derivada segunda f''(x0) es positiva.

Pasemos a considerar la segunda función (fun=2) y su derivada (der=1) del programa: f(x)=0.5*x^3

Observemos como en un punto singular donde cambia la curvatura la función derivada f'(x)=0, y también f''(x)=0;  por lo que según el teorema de suficiencia para extremos no puede tratarse ni de un máximo ni de un mínimo relativo.

A la izquierda de x=0 la derivada decrece, es decir f''(x)<0, y la función es cóncava; a la derecha de x=0 la derivada crece, f''(x)>0, y la función es convexa

Como f'(x) = 1.5*x^2 no puede hacerse negativa, la función f(x) es creciente en todo el dominio.

 

Ejercicios

1: Determinar y clasificar los puntos singulares de las siguientes funciones. Explicar la monotonía que presenta. Determinar los extremos relativos.  Hacer una representación gráfica.

a) f(x)=x4-x3 Solución analitica

b) f(x)=x4

 Solución analitica
c) f(x)=cos(x)-sen(x), xÎ(0,2p) Solución analitica
c) f(x)=(x2+1)ex  Solución analitica

Ver con el programa DescartesSolución analitica

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Solución a los ejercicios propuestos

1: Para ver con detalle esta función aumente el valor de escala lo suficiente. Para ver más campo de escena disminuya la escala.

La función f(x)=x4-x3  está definida en R, es continua y derivable en todo el dominio.

Para determinar los puntos singulares, igualamos a cero la derivada primera, f'(x)=4x3-3x2, 4x3-3x2=0 -> x2(4x-3)=0 -> x=0; x=3/4=0.75.

Veamos de que naturaleza son los puntos. La derivada segunda podrá informarnos de esto: f''(x)=12x2-6x

Para x=0 -> f''(0)=0

Para x=3/4 -> f''(3/4)=9/4=2.25>0 (Mínimo local)

Estudiemos la derivada tercera f'''(x)=24x-6 para seguir discriminando la singularidad en x=0

Para x=0 -> f'''(0)=-6<0 (Inflexión). Además f(x) es decreciente.

Los valores de f(x) en estas singularidades son:

f(0)=0 -> Punto de Inflexión (0,0)

f(3/4)= -1/4=0.105 -> Mínimo local (3/4,-1/4).

Veamos la monotonía:

(-inf , 0) (0, 3/4) (3/4, +inf)
Decrece \ Decrece \ Crece /

Para hacer un esbozo de la gráfica bastaría completar los datos obtenidos con la localización de los  punto de corte con el eje de abcisas haciendo f(x)=0 -> x=0, x=1 y localizar el punto de inflexión que debe existir entre x=0 y x=3/4 puesto que hay un cambio de curvatura. Esta inflexión se encuentra en x=0.5 donde f''(0.5)=0; f(0.5)=-1/16=0.0625.

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El programa Descartes adjunto, permite visualizar las gráficas de las funciones (1, 2, 3 y 4) y sus derivadas sucesivas (1, 2, 3 y 4). También permite obtener los valores de la función correspondiente a cualquier valor de la variable x en el dominio.

El parámetro dec (número de cifras decimales) permite poner el número de decimales representados según  nos convenga.

Las entradas f(x) y g(x) son editables. Si ponemos función a 0 y reemplazamos f(x) o g(x) por expresiones, vemos su representación.

2: La función y sus derivadas sucesivas, continuas y derivables en el dominio R son:

f(x)=x4; f'(x)=4x3; f''(x)=12x2; f'''(x)=24x; f''''(x)=24

Podemos comprobar que en x=0 se cumple:

f(0)=f'(0)=f''(0)=f'''(x)=0; f''''(x)=24 > 0. Según esto, como el primer orden de derivación donde no se anula la derivada es n=4 (par), la función presenta un mínimo local.

No habiendo más puntos singulares, podemos hacer el estudio de la monotonía y esbozar la gráfica.

(-inf, 0) (0, +inf)
Decrece \ Crece /

 

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3: Sea la función f(x)=Cos(x)-Sen(x) y sus derivadas sucesivas que son continuas y derivables en (0, 2p) donde se ha definido. Obsérvese que el programa representa la función en todo R, pero solo debemos prestar atención en (0,2p).

f'(x)=-Sen(x)-Cos(x); f''(x)=-Cos(x)+Sen(x); f''(x)=Sen(x)+Cos(x)

Los puntos singulares se obtiene haciendo f'(x)=0, de donde

-Sen(x)-Cos(x)=0 -> Sen(x)=-Cos(x)-> x=p-p/4=3p/ 4; x=2p-p/4=7p/4

Si observamos el programa dónde se anula la derivada, comprobaremos los valores aproximados decimales x=2.36; x=5.5.

Sustituyendo en f''(x), obtendremos los puntos extremos

Para x=3p/ 4 -> f''(3p/4)=f''(2.36)=1.4142>0 (Mínimo)

Para x=7p/ 4 -> f''(7p/4)=f''(5.5)=-1.4142<0 (Máximo)

La siguiente tabla muestra la monotonía de la función

(0,3p/4) (3p/4,3p/4 ) (3p/4, 2p)
Decrece \ Crece / Decrece \

Para completar el estudio y hacer un esbozo de la gráfica, bastaría calcular los puntos de corte de f(x) con los ejes y también los valores en los extremos del intervalo 0 y 2p.

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4: La función f(x)=(x2+1)ex, es continua y derivable en todo el dominio R ya que se trata de un producto de funciones continuas y derivables en R.

Como siempre calculemos las derivadas sucesivas de las que podemos extraer la información que necesitamos:

f'(x)=(x+1)2ex; f''(x)=(x+1)(x+3)ex; f'''(x)=(x2+6x+7)ex; ...

Puntos singulares: (x+1)2ex=0 -> x=-1, como f'(x) >0 para todo x distinto de -1, la función es estrictamente creciente en todo R.

Para averiguar el tipo de singularidad que hay en x=-1, acudimos a la derivada segunda: f''(-1)=0 y a la derivada tercera: f'''(-1)=2/e > 0. Esto significa que la derivada segunda es creciente en x=-1 y f(x) cambia la curvatura de cóncava a convexa. Por tanto x=-1 es un punto de inflexión

Para representar la gráfica necesitamos alguna otra información. Por ejemplo, los puntos de corte con los ejes, la percepción de otro punto de inflexión existente y la tendencia cuando x tiende a -inf y a +inf.

Como es f(x) es estrictamente creciente y positiva, no corta al eje OX. Como el crecimiento, decrecimiento exponencial es más potente que el potencial, f(x)=(x2+1)ex tiende a 0 cuando x tiende a -inf (calcule el lector para hacerse una idea de la tendencia calculando f(-1000) p.e).

La derivada segunda, también se anula para x=-3 y f'''(-3) = -0.09 < 0 nos informa que en x=-3 cambia la  curvatura de la función f(x) de convexa a cóncava por ser f''(x) decreciente.

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Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000