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Vamos a conocer este método basándonos en un ejemplo. Nuestro objetivo inicial será calcular el área del recinto plano limitado por el eje de abscisas, la gráfica de la función y = x² y las rectas x = 0 y x = b, siendo b un número real cualquiera. Más concretamente, lo que queremos hallar es el área de la región coloreada en la figura siguiente:

• Selecciona el valor de b que desees.

El método de exhaución empleado por Arquímedes para resolver este mismo problema (aunque con notación más moderna) consiste en lo siguiente:

Para cada número natural n dividimos el segmento [0,b]  en n partes iguales de longitud b/n. Sobre cada una de esas partes construimos un rectángulo con la altura de la ordenada máxima (rectángulo superior, por exceso o circunscrito). Realiza las actividades que se te proponen después de la siguiente figura:

figura 2

• Modifica los valores de n y de b en la figura 2 para observar lo que se dice en el párrafo anterior. Si n es muy grande los rectángulos que aparecen tendrán una base muy pequeña y será difícil distinguirlos. Prueba en ese caso a modificar la escala o la posición de los ejes para mejorar su visualización.
• Para cada valor de n, llamaremos S_n (o suma superior) a la suma de las áreas de todos los rectángulos superiores. ¿Qué puedes afirmar de S_n en comparación con el valor del área que estamos buscando? ¿Es cierta esa afirmación sea cual sea el valor de n?
• Sean n₁ y n₂ dos posibles valores del parámetro n, y supongamos n₁< n₂, ¿Qué puedes afirmar de los respectivos valores S_n1 y S_n2?
• Intenta dar un enunciado teórico que englobe los resultados de las dos cuestiones anteriores.

Ahora hacemos los mismo, construyendo rectángulos de altura la ordenada mínima (rectángulo inferior, por defecto o inscrito). Realiza las actividades que se te proponen después de la siguiente figura:

figura 3

• Para cada valor de n, llamaremos s_n (o suma inferior) a la suma de las áreas de todos los rectángulos inferiores. ¿Qué puedes afirmar de s_n en comparación con el valor del área que estamos buscando? ¿Es cierta esa afirmación sea cual sea el valor de n?
• Sean n₁ y n₂ dos posibles valores del parámetro n, y supongamos n₁< n₂, ¿Qué puedes afirmar de los respectivos valores s_n1 y s_n2?
• Intenta dar un enunciado teórico que englobe los resultados de las dos cuestiones anteriores.

Ahora las dos situaciones simultáneamente:

 

figura 4

• ¿Qué relación hay entre cualquier "suma superior" S_n y cualquier "suma inferior" s_m?
• Si llamamos A al área que queremos calcular, ¿qué relación hay entre A, S_n y  s_m ?
• ¿Qué puede decirse de S_n - s_n  cuando n tiende a infinito?
• Averigua el valor del área buscada inicialmente para distintos valores de b y con un error menor que una décima.

	Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000