INTEGRAL INDEFINIDA
Interpretación geométrica y aplicaciones de la integral
Primitiva de una función. Integral indefinida

I  Ambigüedad de la Primitiva de una función.

Ya hemos visto que conociendo la función derivada de una función podemos recuperar la función original a la que hemos llamado función primitiva.

1.- Si modificamos el valor de la constante C ¿Qué obtendremos?. Recuerda como afecta a la gráfica de una función sumar o restar una cantidad fija a su fórmula.

2.- Observa la relación entre las funciones que se obtienen y la función derivada de cada una de ellas. ¿Esto es coherente con las reglas de derivación?.

3.- En estas condiciones qué respuesta podemos dar a las siguientes cuestiones:

  1. ¿La primitiva de una función será única?.
  2. ¿Qué relación habrá entre dos  primitivas distintas de la misma función?.
  3. ¿Dónde hemos tenido un problema parecido?
4.- Demuestra el siguiente resultado: Si F(x) es una primitiva de f(x), también lo es F(x)+k, para cualquier valor de k

Si hay más de una primitiva de la misma función y=f(x), cada una de ellas estará determinada por un punto por el que pase la gráfica de esa función





5.- Elige una punto P cualquiera del plano. (Sus coordenadas (P.x,P.y) pueden ser modificadas bien con  las flechas o escribiendo directamente las nuevas coordenadas en su correspondiente ventana). Observa la primitiva que se obtiene. Vuelve a replantear el ejercicio 3 apartado 2.

II  Integral indefinida.

Se llama integral indefinida de una función y=f(x) al conjunto de todas las primitivas de f. A la integral indefinida de la función f se le nota por la expresión

y se lee integral de f diferencial de x. Al símbolo que inicia la expresión (y que tiene forma de s alargada) se le llama signo integral y lo que le sigue integrando.

6.- Calcula la integral indefinida de la función constante f(x)=0

7.- Demuestra el siguiente resultado: Dadas dos primitivas F y G de una función f, entonces la diferencia entre F y G es una constante. (Demuestra que la función F-G es una primitiva de la función 0 y utiliza el ejercicio 6)

De este resultado se puede deducir un procedimiento para calcular la integral indefinida de una función. Basta con calcular una primitiva y la integral indefinida será la familia de funciones que resulte de sumar a esa primitiva una constante.

donde F(x) es una primitiva de f(x). A la constante C se le denomina constante de integración.

III Cálculo de integrales indefinidas.

Conociendo la relación entre derivación e integración podemos calcular integrales indefinidas de algunas funciones elementales.
 
 

Función derivada                                                         Primitiva

8.- Calcula las siguientes integrales indefinidas de las siguientes funciones de tipo polinómico: (Para ello puedes tantear la posible primitiva y observar si la función derivada coincide con la que nos han dado, o por el contrario puedes calcularla de forma automática en la escena de la derecha)

9.- Observa los resultados de calcular las integrales indefinidas siguientes: ¿Deduces alguna relación entre ellas?.
 
Autor: Enrique Martínez Arcos
 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2001