GEOMETRÍA ANALÍTICA |
Como vimos en el capítulo anterior,
el producto escalar sirve para hallar el módulo de un vector y el
ángulo entre dos vectores. Ahora vamos a utilizar esa herramienta
para hallar distancias y ángulos entre rectas.
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| Recta en paramétricas |
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El vector (d,-b) es normal a r, pues es
perpendicular a su vector dirección (b,d):
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| Recta en implícita | Ax + By + C = 0 | El vector (A,B) es normal a r |
| Si P(x1,y1)
y Q(x2,y2)
pertenecen a la recta, sus coordenadas cumplen la ecuación:
Esta última igualdad significa que Es decir el vector de coordenadas (A,B) es perpendicular a un vector dirección de r, PQ y, por tanto, es normal a r. |
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Si la recta es 
el vector dirección es v(7,-1) y el vector normal es n(1,7) En esta escena le hemos llamado a v(a,b) y a n(c,d) Cambia a y b, para que sea v(6,-3) (puedes arrastrar el extremo del vector v, pulsar los botones de abajo, o teclear los valores y dar a la tecla enter) Verás que ahora el ángulo que forma n con la recta no es de 90º. Tendrás que cambiar c y d para que sea n(3,6) y entonces tendremos el ángulo de 90º, o sea ahora n si es perpendicular a la recta. |
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| Prueba tú a cambiar a, b, c y d, de tal forma que el ángulo sea de 90º | |
1.- Si el vector dirección es v(5,-1) ¿cuál puede ser n? Anótalo en tu cuaderno y compruébalo en la escena anterior. Escribe también cómo ha quedado la ecuación de la recta.
2.- Si el vector dirección es v(-4,2) ¿puede ser el vector normal n(4,8)? Escribe la respuesta en tu cuaderno, justifícala y compruébalo en la escena anterior. Escribe también cómo ha quedado la ecuación de la recta.
3.- Si v=(-3,1),
cuánto ha de valer d
para que n(2,d)
sea un vector normal de la recta. Escribe la respuesta en tu cuaderno,
justifícala y compruébalo en la escena anterior. Escribe
también cómo ha quedado la ecuación de la recta.
| Ahora tenemos la recta
5x - 2y + 4 = 0 Un posible vector normal es n=(c,d)=(5,-2) En este caso el vector dirección puede ser v=(a,b)=(2,5) Cambia a y b, para que sea v(3,2). Verás que ahora la ecuación de la recta es 2x-3y+4=0. Si no has cambiado n, y sigues con n(5,-2), verás que el ángulo NO es de 90º. Tendrás que cambiar c y d para que sea n(2,-3), o sea c=A=2, d=B=-3, y efectivamente n sea normal a la recta. |
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| Pero
no hay sólo un vector normal y un vector dirección de una
misma recta. Se pueden tomar otros que tengan la misma dirección.
Por ejemplo, puede ser v(3,2) y n(1,-1.5), y n seguirá siendo normal a la recta. O bien v(1.5,1) y n(-2,3) Puedes seguir cambiando v y n, para conseguir que n siempre sea normal a la recta, o sea forme un ángulo de 90º con v. |
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1.- Si el vector dirección es v(-5,1) ¿cuál puede ser n? Anótalo en tu cuaderno y compruébalo en la escena anterior. Escribe también cómo ha quedado la ecuación de la recta Ax + By + C = 0.
2.- Si el vector dirección es v(-4,2) ¿puede ser el vector normal n(1,2)? Escribe la respuesta en tu cuaderno, justifícala y compruébalo en la escena anterior. Escribe también cómo ha quedado la ecuación de la recta. Ahora no es c=A y d=B ¿Pueden ser correctas entonces las coordenadas de n? ¿Por qué?
3.- Si v=(-3,1),
cuánto ha de valer d
para que n(2,d)
sea un vector normal de la recta. Escribe la respuesta en tu cuaderno,
justifícala y compruébalo en la escena anterior. Escribe
también cómo ha quedado la ecuación de la recta. Ahora
no es c=A
y d=B
¿Pueden ser correctas entonces las coordenadas de n?
¿Por qué?
| Se llama ángulo entre dos rectas
al menor de los ángulos que forman éstas.
El ángulo, A, entre dos rectas r1 y r2, se puede obtener a partir de sus vectores dirección, d1, d2, o a partir de sus vectores normales, n1, n2: |
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| Ahora tenemos dos rectas, r1
y r2,
en forma paramétrica, por lo que la forma más sencilla de
averiguar el ángulo a
que forman es, tomando sus vectores dirección, ya que nos vienen
dados en las ecuaciones.
Mueve el extremo del vector dirección de r1, o sea d1, o cambia sus coordenadas en los botones inferiores. De esta forma se cambia la dirección de r1, y por tanto el ángulo a de r1 con r2. |
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| Observa que cuando el ángulo
entre los vectores es mayor de 90º, se toma el suplementario para
el ángulo de las rectas, ya que éste siempre será
el menor entre las dos.
Puedes hacer los cálculos con tu calculadora y comprobarlos con los de la escena. |
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1.- Copia en tu cuaderno las ecuaciones de las rectas dadas en la escena anterior, sus vectores dirección, los productos escalares de éstos, los módulos de los mismos, y sustitúyelo todo en la fórmula que nos da el coseno del ángulo que forman las dos rectas. A continuación copia el resultado de la escena, comprobándolo con la calculadora.
2.- Calcula el ángulo que forman las
rectas: 
y 
Comprueba el resultado en la escena anterior.
| Para hallar el ángulo a
entre r1
y r2,
podemos coger sus vectores normales n1(A,B)
y n2(A',B')
Mueve el extremo del vector normal de r1, o sea n1, o cambia sus coordenadas en los botones inferiores. De esta forma se cambia la dirección de r1, y por tanto el ángulo a de r1 con r2. Puedes hacer los cálculos con tu calculadora y comprobarlos con los de la escena. |
1.- Copia en tu cuaderno las ecuaciones de las rectas dadas en la escena anterior, sus vectores normales, los productos escalares de éstos, los módulos de los mismos, y sustitúyelo todo en la fórmula que nos da el coseno del ángulo que forman las dos rectas. A continuación copia el resultado de la escena, comprobándolo con la calculadora.
2.- Calcula el ángulo que forman las
rectas: r1:4x
+ 2y + 14 = 0 y r2:x - 2y -
4 = 0
Comprueba el resultado en la escena anterior.
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| Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000 | ||