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1. Cálculo de la derivada de una función en varios puntos
   Si deseamos obtener la derivada de una función f(x) en varios puntos, a, b, c, ...
   - hallaremos la expresión general de f '(x)
   - sustituyendo en ella, x, por a, b, c, ... hallaremos f '(a), f ' (b), f ' (c), ...
2. Averiguar para qué abcisa la derivada tiene un cierto valor
   Para responder a la pregunta: ¿En qué abcisas la derivada tienen un cierto valor, k?
   - hallaremos la expresión general de f '(x)
   - resolveremos la ecuación f '(x)=k. Sus soluciones son las abcisas buscadas.

En concreto, las abcisas de los máximos y mínimos de una función se encuentran entre las soluciones de f '(x)=0, pues en ellos la recta tangente es horizontal, por tanto la pendiente es cero, y en consecuencia la derivada es cero también.
Esto es, donde la función derivada corta al eje X, la función f tendrá un máximo o un mínimo, o sea un punto de tangente horizontal.

En los ejercicios siguientes, vas a calcular la derivada de algunas funciones, y=f(x), aplicando la fórmula:  .
Después vas a comprobar tus resultados en las escenas correspondientes, por el siguiente método:

1. Arastra suavemente con el ratón el punto rojo para que se dibuje la función derivada
   f '(x)
2. Sustituye la expresión de la función, y=f(x), que aparece en la parte inferior de la escena, por la de la función f ' (x) que hayas obtenido.
3. Pulsa la tecla Enter. Si tus cálculos son correctos se dibujará la función f '(x) justo encima del rastro que han dejado el punto rojo.

También puedes ver la recta tangente en cada punto. Contesta a las siguientes preguntas que se refieren a las tres funciones de las tres escenas anteriores:
4.- En los puntos en que la recta tangente es horizontal, ¿cuánto vale la derivada? ¿qué forma tiene la función? ¿dónde está la función derivada, por encima, por debajo o en el eje X?
5.- Cuando la función es creciente, ¿qué signo tiene la derivada? ¿dónde está la función derivada, por encima, por debajo o en el eje X?
6.- Cuando la función es decreciente, ¿qué signo tiene la derivada? ¿dónde está la función derivada, por encima, por debajo o en el eje X?

1. Derivada de una función constante: D(k)=0, pues la pendiente de y=k es cero en todos sus puntos.
2. Derivada de x: D(x)=1, pues la recta y=x tiene pendiente 1 en todos sus puntos.
3. Derivada de la función potencia: D(xⁿ)=n.x^n-1, siendo n un número cualquiera.
4. Derivada del producto de un número por una función: D(k.f(x))=k.D(f(x))
5. Derivada de la suma de dos funciones: D(f(x)+g(x))=D(f(x))+D(g(x))
6. Derivadas de las funciones sen(x) y cos(x): D(sen(x))=cos(x),
   D(cos(x))=-sen(x)
7. Derivada de f(ax+b): D(f(ax+b))=a.D(f)
8. Derivada del producto de dos funciones:
   D(f(x).g(x))=f '(x).g(x)+f(x).g'(x)
9. Derivada del cociente de dos funciones:
   

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   EJERCICIOS:
   4.- Aplicando estas reglas, calcula ahora la derivada de las tres funciones dadas en las escenas de más arriba de esta página. De esta forma podrás comparar con los cálculos que hiciste, y comprobarlas en las escenas correspondientes.

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   5.- A continuación verás 6 escenas, en cada una de las cuales está representada una función f(x), cuya ecuación puedes ver. Vas a dar los siguientes pasos:
   1) Calcula la derivada f '(x), de f(x), por las reglas anteriores
   2) Introduce la ecuación de la derivada en la parte inferior de la escena, sustituyendo y=f(x) por la función derivada y pulsando Enter. Se representará la función que hayas introducido.
   3) Arrastra con el ratón el punto rojo, que deberá recorrer la función que has introducido y representado
   4) Pulsa el botón función y aparecerá la expresión de la función derivada en la escena.

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6.- Apoyándote en las escenas 6 anteriores, resuelve en tu cuaderno los siguientes ejercicios:
a) ¿Para qué valor de x la derivada vale -1 en las funciones 1ª y 2ª?
b) ¿Para qué valor de x la derivada vale 1 en las funciones 3ª y 4ª?
c) ¿Para qué valores de x la derivada vale 0 en las 6 funciones? Observa que en estos puntos la función f(x) tiene o un máximo o un mínimo, y coincide con los puntos donde la función derivada
f '(x) corta al eje X.

	Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000