Teoremas del valor medio

Demostraciones

Teorema del valor medio (Lagrange)

  Si una función es continua en un intervalo cerrado[a,b ^]y derivable al menos en su interior (a,b) , entonces existirá al menos un punto interior en el que el valor de la derivadaes la variación media de la función en el intervalo.

Para demostrarlo emplearemos una función auxiliar g(x) , relacionada con f(x), a la que aplicaremos el teorema de Rolle y desarrollando la consecuencia en g(x) obtendremos la conclusión deseada en f(x)

Sea       

^{Al ser composición lineal de dos funciones , f(x) y x , ambas continuas en  el cerrado [a , b ] tambien será continua en dicho intervalo}

^{y igual manera al ser composición lineal de dos funciones , f(x) y x , ambas derivables en  el abierto (a , b) tambien será derivable en (a , b )}

^{Por último es fácil ver que toma igual valor en a y en b}

g(a) = (b-a)*f(a) - ( f(b) - f(a))*a = b*f(a) – a*f(a) –f(b)*a +f(a)*a = b*f(a) – a*f(b)

g(b) = (b-a)*f(b) - (f(b) - f(a))*b = b*f(b) - a*f(b) -f(b)*b +f(a)*b = f(a)*b - a*f(b)

evidentemente iguales.

Por tanto esta función g(x) cumple las hipótesis de Rolle y como consecuencia su tésis: Existe un punto en el que g ' (x) = 0.

g '(x) = (b-a)* f ' (x) - (f(b)-f(a))*1 que al anularse en un punto hace que:

y esto último es lo que queriamos demostrar  " que existe un punto en el que 

¿Volver a interpretación grafica?  Si

Félix Carrascosa Izquierdo

I.E.S. Dámaso Alonso

Puertollano