Teoremas del valor medio

Presentamos en primer lugar un ejemplo en donde aparece la gráfica de una función f(x) "arbitraria". El usuario puede recorrer los puntos de la gráfica (modificando el parámetro a) y observar el comportamiento de la recta tangente a la gráfica y del valor de la derivada, relacionandolo con la pendiente de la "cuerda" que une dos puntos de la gráfica tambien variables, A y B.

1º .- Fija dos puntos arbitrarios A y B variando sus abscisas y "recorre" a continuación la gráfica de la función cambiando el valor de a. Vete observando el valor de derivada y relacionalo con el de la pendiente de la cuerda. ¿Hay algún punto en que valgan lo mismo? Observa que en ese punto ,logicamente, la  tangente y la "cuerda " que fijaste son paralelas

2º.- Varia uno o los dos puntos A y B y repite los pasos anteriores ¿Siempre hay un punto entre A y B en el que la tangente es paralela a la cuerda? Puede haber más de uno?
 

Teorema de Rolle

Si una función es continua y derivable en un intervalo y  dentro de el  hay dos puntos   A ( A,f(a)) y B ( B,f(B)) a la misma altura ( f(B) =  f(A) ), entonces habrá como mínimo un punto intermedio en el que la tangente sea horizontal.

La pendiente de la cuerda que une A y B es  cero, al ser horizontal

La pendiente de la tangente en el punto a es f'(a)

Luego  f´(a) = 0

 
 
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3º .- Fija el punto  A determina otro , B,   "recorriendo"  la gráfica de la función de forma que A y B estén a la misma altura. Ayudate del valor de la diferencia de alturas que aparece como texto en la pantalla A continuación ve moviendo el punto a y observa el valor de la derivada en este punto a . ¿Hay algún punto en que sea nula? Observa que en ese punto, logicamente, la  tangente y la "cuerda " que fijaste son paralelas

4º.- Varia el punto A  y repite los pasos anteriores ¿Siempre hay un punto entre A y B en el que la tangente es horizontal? Puede haber más de uno?

Teorema del Valor Medio

Si una función es continua y derivable en un intervalo y determinamos dentro de él  dos puntos A ( A,f(a)) y B ( B,f(B)), entonces habrá como mínimo un punto intermedio en el que la tangente sea paralela a la cuerda que une A y B.

La pendiente de la cuerda que une A y B es : 
 
 
 
 

la pendiente de la tangente en el punto a es f'(a)

Luego            f'(a) =
 
 
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5º .- Fija los puntos  A  y  B,  .  A continuación ve moviendo el punto a y observa el valor de la derivada en este punto a . ¿Hay algún punto en que la tangente  sea paralela a la cuerda que une los puntos fijados? Observa que en ese punto  la derivada y la pendiente de la   "cuerda " que fijaste son iguales

6º.- Varia los puntos A y B  y repite los pasos anteriores ¿Siempre hay un punto entre A y B en el que la tangente es paralela a la cuerda? Puede haber más de uno?

Félix Carrascosa Izquierdo

I.E.S. Dámaso Alonso

Puertollano