Ecuación general de la circunferencia.

Si en la ecuación (x-h)²+(y-k)²=r²desarrollamos los paréntesis y pasamos todo al primer miembro nos queda: x²+y²-2hx-2ky+h²+k²-r²=0, esto nos sugiere que toda ecuación de la forma: x²+y²+dx+ey+f=0 será la de una circunferencia de centro h=-d/2, k=-e/2 y radio tal que r²=(d²/4+e²/4)-f. Por lo tanto siempre que d²+e²-4f>0 tendremos que la ecuación: x²+y²+dx+ey+f=0 es la ecuación de una circunferencia.


Observación:
    Las ecuaciones de la forma ax²+ay²+mx+ny+p=0 tienen las mismas soluciones que las que resultan al dividir por a ; es decir,  las de la forma x²+y²+dx+ey+f=0.
Por lo tanto cada circunferencia ax²+ay²+mx+ny+p=0 también se puede escribir en la forma x²+y²+dx+ey+f=0 resultando realmente una circunferencia cuando m²+n²-pa>0 .

El siguiente applet nos permite modificar los parámetros d,e y f y ver el dibujo de la circunferencia correspondiente. Evidentemente los tres parámetros deben respetar siempre la condición: d²+e²-4f>0

Ejercicios:

14) Cambia los valores de d,e y f  para obtener:
   - Una circunferencia centrada en el origen de coordenadas.
   - Una circunferencia con centro en d(3,0).
   - Una circunferencia con centro en (0,-2).
15) Si el centro está en el eje de las X ¿qué parámetro se hace cero en la ecuación general?, ¿Y cuando el centro está sobre el eje Y?. Comprueba tus hipótesis dibujando varias circunferencias.
16) Modifica los parámetros para obtener circunferencias que pasen por el origen de coordenadas. ¿Qué característica tienen las ecuaciones de las circunferencias  que pasan por el origen?.

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Autor: Jesús Fernández Martín de los Santos

 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000