Ecuaciones Diferenciales
lineales de primer orden
Las ecuaciones diferenciales permiten modelar muchos fenómenos de la naturaleza (la física está llena de ecuaciones diferenciales) y de la sociedad (como la evolución de poblaciones). Antes de la aparición de los ordenadores resolver algunas ecuaciones diferenciales podía ser muy difícil, pero en la actualidad resulta muy sencillo obtener soluciones aproximadas que son en general suficientemente buenas para todas las aplicaciones e incluso va cayendo en desuso la búsqueda de soluciones exactas.
Las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden son las que pueden escribirse como
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y son las más comunes y las primeras que se estudian. En esta página se muestran algunas escenas que permiten estudiar las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden observando el comportamiento de sus soluciones.
Una de las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden más sencillas y más útiles es
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Por un lado sirve para representar fenómenos naturales como el decaimiento radiactivo o el crecimiento de una población sin restricciones y por otro lado es muy fácil encontrar sus soluciones:
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donde C es una constante cualquiera. Esta ecuación lo que dice intuitivamente es que el crecimiento de y respecto a x es proporcional a y, donde a es la constante de proporcionalidad y sus soluciones son funciones exponenciales. La siguiente escena permite visualizar cómo cambian las soluciones de la ecuación (2) al variar el valor de a. En particular se ve que crecen indefinidamente cuando a>0 pero tienden a cero rápidamente ciando a<0. Si a=0 las soluciones son constantes.
Además del parámetro a que interviene en la ecuación (2) hay otros dos controles numéricos: N es el número de soluciones que se dibujan y L define el intevalo [-L,L] del eje y en el que se distribuyen uniformemente las soluciones dibujadas. Hay uan solución especial dibujada en rojo y que pasa por el control gráfico. Si el alumno mueve el control gráfico podrá ver que por cualquier punto del plano pasa una solución. En general un problema de ecuaciones diferenciales consiste en encontrar la solución de una ecuación diferencial que pasa por algún punto concreto. Frecuentemente éste se llama un problema de condiciones iniciales pues suele asociarse la variable x con el tiempo y el punto por el que pasa la solución buscada se interpreta como que en cierto momento el valor de y es uno en particular (y=y0 cuando t=t0).
Esta escena permite entonces visualizar todas las soluciones de la ecuación (2) y en particular ver cuál es la solución que satisface cualquier condición inicial.
Otras ecuaciones diferenciales lineales de primer orden no son tan fáciles de resolver. De hecho muchas no tienen soluciones exactas conocidas. Sin embargo siempre es posible estudiar numéricamente sus soluciones y resolver los problemas de condiciones iniciales, como muestra la siguiente escena.
Aquí F puede ser cualquier expresión en términos de x e y. Las flechas indican en cada punto la pendiente definida por al propia ecuación, es decir, la flecha en un punto (x,y) tiene pendiente F(x,y). El conjunto de flechas azules que aparecen en la escena y que dan una buena indicación de cómo son las soluciones, se llama el campo vectorial definido por la ecuación diferencial. El alumno debe observar que la solución va siempre en la dirección de las flechas. Los parámetros a,b y c se incluyen en la escena para facilitar el estudio del comportamiento de una ecuación diferencial que dependa de algunos parámetros. La solución que se dibuja en color rojo es la que satisface la condición inicial determinada por el control gráfico (x=C.x, y=C.y). La solución se dibuja para x en [0,T] si T>0 y en [-T,0] si T<0. El alumno puede cambiar T para alargar las curvas solución o para cambiar su dirección a la izquierda del control.
El aspecto del campo vectorial puede modificarse usando los controles sep. flechas, normal y factor. El control sep. flechas permite definir la separación entre las flechas. normal=si significa que todos los vectores del campo vectorial se dibujarán del mismo tamaño factor, en cambio si normal=no, el tamaño de los vectores será factor*raíz(1+F^2).
Notas para autores de escenas: La última escena de esta página es una aplicación de varias herramientas nuevas de Descartes 3.5.
1) Las variables editables que dan la posibilidad al usuario de escribir expresiones que pueden ser interpretadas por la escena. En versiones anteriores esta capacidad se limitaba a los gráficos de ecuaciones, pero ahora pueden utilizarse expresiones editables en cualquier parte de una escena. En dicha escena se usa una variable editable F para que el usuario pueda estudiar cualquier ecuación diferencial lineal de primer orden.
2) La escena usa dos macros generales: vectores/campoVect y calculos/RungeKutta. El primero es un campo vectorial y el segundo es escencialmente un algoritmo para resolver sistemas lineales de dos ecuaciones diferenciales.
3) Los controles numéricos sep. flechas, factor, normal, a, b y c realizan la acción limpiar siempre que se pulsan, con lo cual redibujan el campo vectorial que se ha definido como fondo para hacer más rápida la reacción de la escena ante movimientos del control gráfico. Esta posibilidad de que todos los controles numéricos puedan realizar una acción, es también una nueva herramienta de Descartes 3.5.
Autor: José Luis Abreu León