Calor y Temperatura.

El ciclo de Carnot.

Introducción.

En 1824 el ingeniero francés Sadi Carnot estudió la eficiencia de las diferentes máquinas térmicas que trabajan transfiriendo calor de una fuente de calor a otra y concluyó que las más eficientes son las que funcionan de manera reversible. Para ello diseñó una máquina térmica totalmente reversible que funciona entre dos fuentes de calor de temperaturas fijas. Esta máquina se conoce como la máquina de Carnot y su funcionamiento se llama el ciclo de Carnot.

La máquina de Carnot.

La máquina de Carnot puede pensarse como un cilindro con un pistón y una biela que convierte el movimiento lineal del pistón en movimiento circular. El cilindro contiene una cierta cantidad de un gas ideal y la máquina funciona intercambiando calor entre dos fuentes de temperaturas constantes T1 < T2. Las transferencias de calor entre las fuentes y el gas del cilindro se hace isotérmicamante, es decir, manteniendo la temperatura constante lo cual hace que esa parte del proceso sea reversible. El ciclo se completa con una expansión y una compresión adiabáticas, es decir, sin intercambio de calor, que son también procesos reversibles.

La máquina funciona así:

1) Expansión isotérmica. Se parte de una situación en que el gas ocupa el volumen mínimo Vmin y se encuentra a la temperatura T2 y la presión es alta. Entonces se acerca la fuente de calor de temperatura T2 al cilindro y se mantiene en contacto con ella mientras el gas se va expandiendo a consecuencia de la elevada presión del gas. El gas al expandirse tiende a enfriarse, pero absorbe calor de T2 y así mantiene su temperatura constante durante esta primera parte de la expansión. El volumen del gas aumenta produciendo un trabajo sobre el pistón que se transfiere al movimiento circular. La temperatura del gas permanece constante durante esta parte del ciclo, por tanto no cambia su energía interna y todo el calor absorbido de T2 se convierte en trabajo. 

dQ1 = dW1 >= 0 , dU1 = 0

2) Expansión adiabática. La expansión isotérmica termina en un punto preciso tal que el resto de la expansión, que se realiza adiabáticamente (es decir sin intercambio de calor, el cilindro se mantiene   totalmente aislado de cualquier fuente de calor), permite que el gas se enfríe hasta alcanzar exactamente la temperatura T1 en el momento en que el pistón alcanza el punto máximo de su carrera y el gas su alcanza su volumen máximo Vmax. Durante esta etapa todo el trabajo realizado por el gas proviene de su energía interna.

dQ2 = 0 , dU2 = dW2 >= 0

3) Compresión isotérmica. Se pone la fuente de calor de temperatura T1 en contacto con el cilindro y el gas comienza a comprimirse pero no aumenta su temperatura porque va cediendo calor a la fuente fría T2. Durante esta parte del ciclo se hace trabajo sobre el gas, pero como la temperatura permanece constante, la energía interna del gas no cambia y por tanto ese trabajo es absorbido en forma de calor por la fuente T1. 

dQ3 = dW3 <= 0 , dU3 = 0

4) Compresión adiabática. La fuente T1 se retira en el momento adecuado para que durante el resto de la compresión el gas eleve su temperatura hasta alcanzar exactamente el valor T2 al mismo tiempo que el volumen del gas alcanza su valor mínimo Vmin. Durante esta etapa no hay intercambio de calor, por eso se llama compresión adiabática, y se realiza un trabajo sobre el gas todo el cual se convierte en energía interna del gas. 

dQ4 = 0 , dU4 = dW4 <= 0

El ciclo 1) 2) 3) 4) se repite indefinidamente.

En cada ciclo la máquina realiza un trabajo mecánico dW igual al calor transferido dQ de T2 a T1. Esto se deduce del primer principio de la termodinámica, pero también lo podemos comprobar usando las igualdades obtenidas en cada ciclo. En efecto,

dQ = dQ1 + dQ3 = dW1 + dW3

donde la segunda igualdad se obtiene de 1) y 3). Por otro lado, el estado del gas al terminar un ciclo es el mismo que al comenzarlo, por lo que el cambio de su energía interna debe ser cero, es decir:

dU1 + dU2 + dU3 + dU4 = 0

De esta última igualdad y de 1), 2), 3) y 4) se deduce que dW2 + dW4 = 0. Por lo tanto

dQ = dW1 + dW3 =  dW1 + dW2 + dW3 + dW4 = dW.

La siguiente escena ilustra el funcionamiento de la máquina de Carnot y enseña algunos resultados cuantitativos en cada momento y después de cada ciclo.

Observe cómo varían la temperatura y el volumen durante el ciclo. nc es el número de ciclos, Wc es el trabajo realizado por el gas en cada ciclo y Qc es el calor transferido de T2 a T1 en cada ciclo. Observe que son iguales. Observe también que el calor total transferido al terminar un ciclo el igual al trabajo realizado y ambos son iguales a ncWc.

La siguiente escena es como la anterior pero se le han agregado algunos controles y datos para que el alumno pueda realizar diversas observaciones y experimentos.

En los datos de la escena aparecen ahora la eficiencia (Q2-Q1)/Q2 de la máquina en cada momento y la eficienca teórica de Carnot que es igual a 1-T1/T2. Puede observar que durante la compresión adiabática ambas son iguales.

En los datos también se incluyen la entropia de gas Sg, el aumento de entropía S1 de la fuente de calor T1 y el aumento de entropía S2 (negativo) de la fuente de calor T2. Observe que la entropía Sg del gas no cambia durante los procesos adiabáticos. Observe también que la suma de las tres entropías es siempre cero. Esto se debe a que todos los procesos del ciclo de Carnot son reversibles y no aumentan "la entropía del universo". Las máquinas cuyo funcionamiento incluye un proceso irreversible aumentan la entropía del universo. Todos los procesos reales son en mayor o menor medida irreversibles. Una medida de qué tan irreversibles son es qué tanto aumentan la entropía del universo. La máquina de Carnot es una máquina ideal no sólo por ser imaginaria sino porque es la máquina más eficiente y ecológica y es a la que, en muchos sentidos, deberían parecerse las máquinas reales. El principal problema de la máquina de Carnot que la hace no muy deseable en la práctica es que debe funcionar lentamente y en cada ciclo puede producir menos trabajo de lo que producen otras máquinas menos eficicentes pero más potentes.

En el gráfico de esta escena además de las curvas isotérmicas, se han dibujado las curvas "adiabáticas" en azul claro. Estas son las curvas sobre las que se mueve el punto durante los procesos adiabáticos.

El alumno puede:
* Cambiar la velocidad de giro rpm para poder observar mejor el movimiento.
* Aumentar o disminur (una vez) la cantidad de gas n (expresada en moles).
* Aumentar o disminur el radio de giro r de la biela.
* Aumentar o disminur la altura y0 del centro de giro
   (con esto aumentará o disminuirá la presión media).
* Aumentar o disminur las temperaturas T1 y T2 de las fuentes de calor.
Los cambios deben hacerse con la animación detenida y después de hacer los cambios deseados, hay que pulsar otra vez animar/pausa.

Ejercicio:  Ponga T1=-40 y T2=100 ¿Qué trabajo Wc se obtiene en cada ciclo? ¿Cómo es que siendo mayor la eficiencia de Carnot se obtiene tan poco rendimiento? Ponga T1=-100 y T2=140. ¿Qué trabajo Wc se obtiene en este caso? ¿Porqué se obtiene este valor? ¿Cómo es que con tanta eficiencia se obtiene un trabajo nulo? (Este ejercicio pretende hacer pensar al alumno en la dicotomía entre eficiencia y potencia.)

El alumno también puede cambiar el tipo de gas (monoatómico o diatómico). Observará que la máquina de Carnot funciona mejor con gases monoatómicos. Esto se debe a que las curvas de los proceso adiabáticos son más verticales para los gases monoatómicos.
Ejercicio: Buscar valores para los que con un gas diatómico se obtenga un trabajo Wc > 0.2 ergs después de cada ciclo.

El trabajo realizado en cada ciclo depende de todos los factores que afectan el ciclo pero es interesante observar que la eficiencia de Carnot depende sólo de las temperaturas de las fuentes de calor. Por ejemplo, aumente n y verá que el trabajo Wc realizado por en un ciclo será mayor (el punto sale de la ventana de la gráfica por arriba porque la presión es mucho mayor). Ahora, con la animaión detenida) disminuya y0 y reanude la animación. Verá que el ciclo se realiza en una parte más baja de la gráfica y Wc será menor.
Ejercicio: Buscar los valores de r, y0, T1 y T2  que den el mayor trabajo Wc manteniendo n=0.001.

Se sugiere al alumno realizar otros experimentos como los anteriores, todos los que se le ocurran, con el objeto de entender a fondo el ciclo de Carnot.