Teorema del valor medio O de Lagrange: Si una función f(x) está definida en un intervalo cerrado [a, b] y es:

1º) f(x) continua en [a, b].

2º) f(x) derivable en el intervalo abierto (a, b).

Entonces, existe al menos un punto c del intervalo (a, b), tal que f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a).

Geométricamente. la tesis significa que, en algún punto del intervalo (a, b), la tangente es paralela a la cuerda que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)).

1. Prueba con varias funciones que cumplan las hipótesis del teorema de Lagrange en el intervalo [-3, 3] y comprueba que cumplen la tesis, es decir, que la derivada toma un valor igual a n, o lo que es lo mismo, que la tangente en algún punto c de (-3, 3), es paralela al segmento que une (-3, f(-3)) con (3, f(3)).

Naturalmente, ésto no demuestra el teorema.

El punto c puede no ser único, según veremos en el siguiente ejemplo:

Si no se cumplen las hipótesis del teorema, la tesis puede cumplirse o no. Veamos un ejemplo de cada una de las dos situaciones volviendo a usar una escena análoga a la segunda de la página del teorema de Rolle:

4. Representar gráficamente la función f(x)=1/x. (Hacer p=0, q=1, r=0) ¿Qué hipótesis del teorema de Lagrange no cumple en el intervalo [-3, 3]? ¿Cumple la tesis? Comprueba el resultado analíticamente.

5. Representar gráficamente la función f(x)=1/(x²-1). (Hacer p=1,q=0, r=-1) ¿Qué hipótesis del teorema de Lagrange no cumple en el intervalo [-3, 3]? ¿Cumple la tesis? En caso afirmativo, ¿cuál es el punto c? Comprueba el resultado analíticamente.

Este ejemplo es el mismo que sirvió para ilustrar la misma situación en el caso del teorema de Rolle; se ha hecho así para poner de manifiesto una última idea: el teorema de Rolle es un caso particular del de Lagrange. Si en este teorema elegimos una función f(x) tal que f(a)=f(b),es decir, que los valores de la función coincidan en los extremos, tenemos el teorema de Rolle.