Supongamos que una función f(x) cumple las dos hipótesis de los dos teoremas mencionados, es decir, f(x) es continua en un intervalo cerrado [a, b] de R y derivable en el correspondiente intervalo abierto (a, b).Imaginemos que, además, los valores de f(x) en los extremos coinciden, es decir, f(a)=f(b).

Según el teorema de Weierstrass, f(x) alcanza un máximo y un mínimo en [a, b]. Hay dos posibilidades:

Si alcanza los dos extremos en a o en b, por ser f(a)=f(b), ambos extremos son iguales y la función es constante en [a, b], por lo que su derivada se anula en todos los puntos del intervalo cerrado [a, b].

Si alcanza alguno de los dos extremos en el intervalo abierto (a, b), en virtud del teorema de la anulación de la derivada en un extremo, la derivada de la función se anula en ese punto del intervalo abierto.

En cualquier caso, podemos asegurar que la derivada de f(x) se anula al menos en un punto c del intervalo abierto (a, b). Esa es la tesis del teorema de Rolle y los razonamientos expuestos son las ideas fundamentales de una demostración del teorema basada en los dos teoremas citados en el apartado anterior.

Si nos fijamos en la gráfica de la función f(x) al ser f(a)=f(b), "empieza a la misma altura que termina" y parece bastante intuitivo que en algún punto, la tangente debe ser horizontal, es decir la derivada de f(x) debe anularse en algún punto.

Suponemos ahora que f(x) cumple las dos hipótesis básicas, es decir, la continuidad en el intervalo [a, b] y la derivabilidad en el intervalo abierto (a, b).

Nos fijamos en la recta r que contiene a la cuerda que pasa por los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)),es decir, por "el primer y último punto" de la gráfica de f(x). La pendiente de esta recta (y por tanto, su derivada en cualquier punto de [a, b]), es

Sea y=r(x) la ecuación de r y consideremos la función g(x)=f(x)-r(x). Esto significa, hablando intuitivamente, que "rebajamos la gráfica de f(x), para cada valor de x, una cantidad igual a la ordenada de la recta en x". La función g(x) cumple las hipótesis del teorema de Rolle, ya que conserva las propiedades de continuidad y derivabilidad y se anula en a y en b, luego existe algún punto c de (a, b) tal que g'(c)=0. Pero es g'(x)= f'(x)-r'(x) y, en particular, en c es g'(c)=f'(c)-r'( c)=0, es decir, f'(c)=r'(c), o bien,

Este es el enunciado del teorema del valor medio o de Lagrange: Si una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b), existe al menos un punto c de (a, b) en el que se cumple que

Gráficamente, la tesis del teorema significa que en algún punto c del intervalo abierto (a, b), la tangente a f(x) es paralela a la cuerda que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)).

Las ideas que se han dado, debidamente formalizadas, constituyen una demostración del teorema.

Aunque este resultado es menos intuitivo que el del teorema de Rolle, también parece que si dibujamos una función "de un solo trazo", es decir, continua y "suficientemente redondeada, sin picos", es decir, derivable, en algún punto, la tangente debe ser paralela a la cuerda que une los dos extremos.

Un resultado más general es el teorema de Cauchy que no vamos a analizar porque no se estudia habitualmente en el Bachillerato.

Tampoco hablaremos de la regla de L´Hôpital para el cálculo de límites, aunque se suele estudiar en el capítulo de teoremas sobre funciones derivables.