Resolución de sistemas de ecuaciones

3 º ESO.

 

INTRODUCCIÓN

En ésta Unidad Didáctica estudiaremos los métodos clásicos de resolución de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. En primer lugar, aclararemos el concepto de ecuación lineal con dos incógnitas y posteriormente pasaremos al estudio pormenorizado de los métodos de sustitución, reducción y gráfico. Se ha ignorado el método de igualación por considerarlo muy parecido al de sustitución.

A través del siguiente ÍNDICE se puede acceder directamente a cada parte de la que consta la unidad didáctica.

 

ÍNDICE

  1. Definición de Ecuación Lineal con dos Incógnitas.

  2. Método de Sustitución.

  3. Método de Reducción.

  4. Método Gráfico.

  5. Relación de ejercicios.

 

ECUACIÓN LINEAL CON DOS INCÓGNITAS

Definimos Ecuación Lineal con dos Incógnitas a toda expresión del tipo ax + by = c siendo a, b y c números tales que a y b son diferentes de 0 y x e y son las incógnitas.

Toda ecuación lineal con dos incógnitas tiene un número ilimitado de soluciones.

  1. Averigua si los valores de x e y propuestos son solución de cada una de las siguientes ecuaciones:

        a) 5x + 2y = 17       x = 4, y = -3/2           b)  1/3x + y = 7      x = 6, y = 2

        c) x - y = 12           x = 13, y = -1            d)   4x + 12 = y      x = -2, y = 4

  1. Halla cinco soluciones para cada una de las siguientes ecuaciones:

        a) 2x + 3y = 12       b) 4x - 3y = -24      c) -x - y = 1        d) 6x - y = 7

  1. Busca dos soluciones de la ecuación 6x - 4y = 2 y comprueba que también son soluciones de 3x - 2y = 1. ¿Sabrías explicar por qué coinciden?

 

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

 

Para resolver un sistema por el método de sustitución despejamos una de las incógnitas de una de las ecuaciones y sustituimos esta expresión en la otra ecuación. Veamos la siguiente escena:

(1) El Sistema debe tener su forma habitual. Si tiene paréntesis o denominadores debemos quitarlos previamente.
(2) Despejamos la incógnita x de la primera ecuación
(3) Sustituimos el valor despejado en el apartado anterior en la segunda ecuación.
(4) Multiplicamos a por el numerador de la fracción
(5) Multiplicamos todo la ecuación por el denominador de la fracción
(6) Agrupamos los términos con incógnita y, y agrupamos los números sin incógnita.
(7) Calculamos la incógnita y
(8) Sustituimos el valor de y en la expresión de (2).
 

 

 

MÉTODO DE REDUCCIÓN

Para resolver un sistema por el método de reducción multiplicamos la primera ecuación por el coeficiente d de la segunda y la segunda ecuación por el coeficiente a de la primera ecuación cambiado de signo. Veamos la siguiente escena:

(1) El Sistema debe tener su forma habitual. Si tiene paréntesis o denominadores debemos quitarlos previamente.
(2) Multiplicamos la primera ecuación por d y la segunda ecuación por   -a.
(3) Sumamos las dos ecuaciones y desaparece la incógnita x.
(4) Calculamos el valor de la incógnita y.
(5) Sustituimos el valor de y en la primera ecuación.
(6) Despejamos la incógnita x.

 

MÉTODO GRÁFICO

Se trata en el método gráfico de dibujar las rectas que son la representación gráfica de las dos ecuaciones lineales. De esta manera, las coordenadas del punto de intersección de dichas rectas, son las soluciones ( x e y ) del sistema. Veamos la siguiente escena:

 

   (1) En primer lugar, al igual que en los métodos anteriores, debemos expresar las dos ecuaciones del sistema en su forma habitual, es decir, debemos eliminar los posibles paréntesis y denominadores que aparezcan.
 (2) A continuación, dibujaremos las rectas que son la representación gráfica de las dos ecuaciones lineales
(3) Ya solamente queda obtener las coordenadas del punto de intersección de las dos rectas. La primera coordenada es la incógnita x y la segunda la incógnita y. 
 

 

  Juan Antonio Cuadra Muñoz
 
Ministerio Educación. Año 2005