LA SEMEJANZA EN EL PLANO
1. Figuras semejantes.
Uno de los conceptos que más aparecen en el estudio de la geometría del plano es el de semejanza, debido a su presencia en numerosas situaciones de la vida cotidiana. Por ejemplo, la idea está implícita en la realización de maquetas, mapas y planos con diferentes escalas, en las fotografías ampliadas o reducidas de un mismo documento o en las fotografías reveladas en papeles de diferentes tamaños.
1.1. Figuras semejantes
Dos figuras son semejantes si sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes son proporcionales.
Los ángulos o lados correspondientes se llaman ángulos o lados homólogos en la semejanza.
Observa la siguiente escena y contesta a las cuestiones que se plantean a continuación.
1.- Comprueba que las figuras de la escena son semejantes, superponiendo una sobre la otra y observando que los ángulos correspondientes son iguales. (Puedes mover las figuras pinchando en el vértice inferior izquierdo y arrastrando con el ratón)
2.- Cambia los valores de los segmentos y observa que se obtienen nuevas figuras semejantes.
3.- Dibuja en tu cuaderno de trabajo dos figuras semejantes y, con ayuda de un transportador de ángulos, comprueba que sus ángulos son iguales.
1.2. Razón de semejanza (I)
Al dividir los lados correspondientes de dos figuras semejantes se obtiene la misma cantidad.
El cociente entre los lados homólogos de dos figuras semejantes se denomina razón de semejanza.
Observa la siguiente escena y contesta a las cuestiones que se plantean a continuación.
4.- Comprueba que los lados correspondientes de las figuras semejantes de la escena son proporcionales. (Realiza las divisiones con tu calculadora, si es necesario)
5.- Modifica los valores de los lados de una de las figuras y observa que la razón de semejanza no varía, los lados homólogos siguen siendo proporcionales.
6.- Con las figuras de la escena, donde la razón de semejanza es 2, averigua los valores que se piden con las condiciones que se indican:
a) Si AB = 9.00 PQ = ? b) Si BC = 3.57 y CD = 2.89 QR = ? y RS = ?
c) Si AB = 7.32, BC = 3.4 y CD = 3.87 SP = ?
1.2. Razón de semejanza (II)
Observa la siguiente escena y contesta a las cuestiones que se plantean a continuación.
7.- Cambia los valores de la razón de semejanza y comprueba que los lados homólogos siguen siendo proporcionales, y las figuras semejantes.
8.- Calcula los lados de la figura PQRS si la razón de semejanza es r = 1.5 y AB = 8.25; BC = 3.42 y CD = 5.
9.- Dibuja en tu cuaderno de trabajo un polígono de 5 lados y a continuación una figura semejante cuya razón de semejanza sea r = 0.4. (Ayúdate de una regla graduada y escribe los cálculos necesarios en tu cuaderno de trabajo)
1.3. Perímetros y áreas de figuras semejantes
Los perímetros y las áreas de dos figuras semejante guardan una relación con respecto a la razón de semejanza entre ellas.
El cociente entre los perímetros de dos figuras semejantes es igual a la razón de semejanza de dichas figuras, y el cociente entre las áreas de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza de dichas figuras.
Si dos figuras son semejantes con razón de semejanza k, entonces:
a) La razón de sus perímetros es k.
b) La razón de sus áreas es k2.
Observa la siguiente escena y contesta a las cuestiones que se plantean a continuación.
10.- Modifica los lados de una figura y comprueba que la proporción entre los perímetros es igual a la razón de semejanza y que la proporción de las áreas es igual al cuadrado de la razón de semejanza.
11.- Dibuja en tu cuaderno de trabajo la figura ABCD con los datos AB = 6; BC = 4; CD = 3 y DA = 5. A continuación dibuja una figura semejante con razón de semejanza 1.5 y calcula los lados de la nueva figura.
Halla los perímetros y las áreas de las dos figuras y comprueba que se cumplen las relaciones entre perímetros y áreas de figuras semejantes.
12.- Comprueba los resultados que has obtenido en el ejercicio anterior levando los datos dados a la escena que estás trabajando.
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