Resolució de problemes d'extrems condicionats.

Exercici 1.



 Llegeix atentament:

Un filferro té 12 cm de longitud. Construeix amb ell un rectangle que tingui l'àrea màxima.

Modifica el valor del paràmetre "perímetre" que es la longitud total del filferro.

Mou el punt P i observa cóm es va modificant el rectangle i l' àrea del mateix i com queda reflectit  el seu valor al rastre associat.

Aquest rastre és el de la gráfica de la funció àrea del rectangle.

Activitats per fer a la llibreta:
1ª    Has d'esbrinar quina és  l' expressió de la funció àrea del rectangle en funció de la mesura d'un costat i representarla gràficament. La gràfica que  representis de la teva funció ha de  coincidir amb el rastre.
2ª   Observa que al ser una funció derivable en todo el seu domini els extrems absoluts s'assoliran en els punts frontera del domini o  en els extrems relatius. Troba els valors de les dimensions  del rectangle per als  que s'assoleix el valor màxim de l'àrea.
3º   Troba l' equació de la recta tangente a la corba en el punto on es maximitza la funció àrea. Representa-la. Comprovaràs que dita recta és de pendent zero.

 

Exercici  2.

Llegeix atentament

De tots els rectangles d'àrea constant, igual per exemple a 20 cm2, determina les dimensions del que té perímetre mínim.

Observa l'escena, modificant el paràmetro "area" y comprovaràs cóm es van formant els diferents rectangles en moure el punt  P.

En aquest exercici es tracta de que minimitzis la funció perímetre del rectangle.

Al igual que a l'exercici anterior veuràs que al moure el punt P hi ha un punt que va deixant un rastre que no és altre  que la funció perímetre que hem de minimitzar.

L' escena representada et donarà un clara idea de cóm es comporta dita funció.

Activitatsper fer a la llibreta:
1ª  Escriu el perímetre del rectangle en funció de les seves dues dimensions x i y . Desprès, per mitjà de la condició d'àrea constant, estableix una relació entre aquestes dues variables, que et permetrà d' expressar el perímetre del rectangle en funció només de x.
2ª  Representa gràficament la funció perímetre trobada. La gràfica que  representis de la teva funció ha de  coincidir amb el rastre.
3ª   Observa que al ser una funció derivable en todo el seu domini els extrems absoluts s'assoliran en els punts frontera del domini o  en els extrems relatius. Troba els valors de les dimensions  del rectangle per als  que s'assoleix el valor mínim del perímetre.
4ª  Troba l' equació de la recta tangente a la corba en el punto on es minimitza la funció perímetre. Representa-la. Comprovaràs que dita recta és de pendent zero.

Exercici  3.



Llegeix atentament

Un ciclista ha d'anar des d'una ciutat A situada a la carretera fins a un punt B situat al camp. Les distàncies són les que s'indiquen a la figura. La velocitat que assoleig per carretera  és de 400 m/min. i per camp a través és de 200 m/min.  Determina  la trajectòria que ha de seguir perquè el temps que inverteixi en el recorregut sigui mínim.

Observa l'escena, modificant els paràmetes "distància-horitzontal" i "distància_vertical"  i   després mou el punt  P.

En aquest exercici es tracta de que minimitzis la funció temps total emprat per anar del punt al punt B.

Al igual que a l'exercici anterior veuràs que al moure el punt P hi ha un punt que va deixant un rastre que no és altre  que la funció temps total que hem de minimitzar.

 

Activitats per fer a la llibreta:
1ª    Has d'esbrinar quina és  l' expressió de la funció T temps total emprat per anar des d'A a B en funció de la distància x que hi ha entre P i el punt projecció ortogonal de B sobre la recta carretera.  
2ª   Escriu el domini pràctic de la funció anterior.
3ª   Deriva aquesta funció T respecte a la variable x. Iguala la derivada a 0 i busca el mínim relatiu de la funció T.
4ª  Busca el valor del mínim absolut de la funció T en l'interval que és el domini pràctic de dita funció. Comprova, fent els càlculs, si és el mínim relatiu o no.
5ª  Comprova-ho movent el punt P en l'escena.( Fes atenció al fet que la distància que surt a l'escena és la de P a A ).

Mª Dolors Elizalde Rius
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Any 2007
 
<

Licencia de Creative Commons
Los contenidos de esta unidad didáctica están bajo una licencia de Creative Commons si no se indica lo contrario.