| Raquel Urraca Mijares | ||
 |
||
| Ministerio de Educación. Año 2007 | ||
I. Posición relativa de una recta y una circunferencia
Estudiar la posición relativa de una recta y una circunferencia es estudiar la intersección de ambas, es decir determinar a cuál de los tres casos siguientes corresponde:
a) Que la recta sea exterior: No hay intersección
b) Que la recta sea tangente: Un único punto de intersección
c) Que la recta sea secante: Dos puntos de intersección
La forma algebraica de estudiarlo, para ésta y el resto de cónicas, es resolviendo el sistema formado por sus dos ecuaciones. La forma más cómoda de hacerlo suele ser por sustitución, y se obtiene una ecuación de segundo grado cuyas soluciones son una de las coordenadas de los puntos de contacto.
En esta unidad haremos un estudio gráfico y algebraico a través de dos escenas para cada cónica, intentado analizar todos los posibles casos.
En las siguientes escenas se puede representar cualquier circunferencia de centro (C.x , C.y) y radio Radio, y cualquier recta de ecuación: Dx + Ey = F.
En primer lugar, se puede comprobar que al variar en una recta únicamente el coeficiente F, se obtienen rectas paralelas a la inicial.
1.- Propuesta de trabajo: Observa todos los casos posibles modificando la ecuación de la recta y/o de la circunferencia. Escribe en tu cuaderno de trabajo un ejemplo que hayas encontrado de cada caso, junto con la gráfica y una aproximación del punto de corte (si le hubiera). A continuación realiza el estudio algebraico de dichos ejemplos y compara resultados.
2.- Propuesta de trabajo: Estudia la posición relativa de las siguientes rectas respecto a las circunferencias, anotando las respuestas en tu cuaderno de trabajo:
a) x+y=2 respecto a (x-3)2+y2=1
b) 3x+y=4 respecto a (x+1)2+(y+2)2=4
c) 3x+4y=36 respecto a (x-1)2+(y-2)2=25
A continuación realiza el estudio algebraico de dichos ejemplos y compara resultados.
3.- Propuesta de trabajo: Para los tres apartados anteriores encuentra rectas paralelas a la dada que sean secantes, tangentes y exteriores a la circunferencia correspondiente (utiliza el zoom si lo consideras necesario). Escribe los resultados en tu cuaderno de trabajo, acompañados de una representación gráfica.
II. Posición relativa de una recta y una elipse
Al igual que en el caso de la circunferencia, la posible intersección de una recta y una elipse se reduce a tres casos:
a) Que la recta sea exterior: No hay intersección
b) Que la recta sea tangente: Un único punto de intersección
c) Que la recta sea secante: Dos punto de intersección
En las siguientes escenas se puede representar cualquier elipse de centro (C.x , C.y) y semiejes a y b, y cualquier recta de ecuación: Dx + Ey = F.
4.- Propuesta de trabajo: Observa todos los casos posibles modificando la ecuación de la recta y/o de la elipse. Escribe en tu cuaderno de trabajo un ejemplo que hayas encontrado de cada caso, junto con la gráfica y una aproximación del punto de corte (si le hubiera). A continuación realiza el estudio algebraico de dichos ejemplos y compara resultados.
5.- Propuesta de trabajo: Estudia la posición relativa de las siguientes rectas respecto a las elipses, de las que deberás calcular previamente el centro y los semiejes. Anota las respuestas en tu cuaderno de trabajo, y compara los resultados con los obtenidos mediante el estudio algebraico:
a) x+y=-3 respecto a 9x2+4y2=36
b) 3x+y=2 respecto a x2+8y2-10x-48y+81=0
c) 16x+15y=100 respecto a 16x2+25y2=400
6.- Propuesta de trabajo: Para los tres apartados anteriores encuentra rectas paralelas a la dada que sean secantes, tangentes y exteriores a la elipse correspondiente. Escribe los resultados en tu cuaderno de trabajo, acompañados de una representación gráfica.
.
III. Posición relativa de una recta y una hipérbola
El caso de la intersección de una recta y una hipérbola es diferente a los anteriores, ya que pueden aparecer mayor número de casos:
a) Que la recta sea secante en dos puntos, ambos de la misma rama de la hipérbola.
b) Que la recta sea secante en dos puntos, cada una en una rama diferente de la hipérbola.
c) Que la recta sea secante en un único punto.
d) Que la recta sea tangente en un punto.
e) Que la recta no corte a la hipérbola en ninguno de sus puntos.
f) Que la recta sea una de las asíntotas de la hipérbola.
En las siguientes escenas se puede representar cualquier hipérbola de centro (C.x , C.y) y semiejes a y b, y cualquier recta de ecuación: Dx + Ey = F.
7.- Propuesta de trabajo: Observa todos los casos posibles modificando la ecuación de la recta y/o de la hipérbola. Escribe en tu cuaderno de trabajo un ejemplo que hayas encontrado de cada caso, junto con la gráfica y una aproximación de los puntos de corte. A continuación realiza el estudio algebraico de alguno de dichos ejemplos y compara resultados.
8.- Propuesta de trabajo: Estudia la posición relativa de las siguientes rectas respecto a la hipérbola 9x2- 4y2=36, de la que deberás calcular previamente el centro y los semiejes. No olvides anotar las respuestas en tu cuaderno de trabajo.
a) x-y=2 b) 1'5 x-y=5 c) 1'5 x-y=0 d) 1'5 x-0'4y=2'7 e) x-0'2y=3 f) x-0'5y=0'1
A continuación realiza el estudio algebraico de dichos ejemplos y compara resultados.
IV. Posición relativa de una recta y una parábola
El caso de la intersección de una recta y una parábola se asemeja a los de la circunferencia o la elipse, pero aparece una nueva posibilidad:
a) Que la recta no interseque a la parábola.
b) Que la recta sea tangente a la parábola e un punto
c) Que la recta interseque a la parábola en un único punto.
d) Que la recta interseque a la parábola en dos puntos.
En la siguientes escenas se puede representar cualquier parábola de ecuación y= Ax2+Bx+C, y cualquier recta de ecuación: Dx + Ey = F.
Es decir sólo estudiaremos parábolas cuyo eje sea cualquier recta paralela al eje de ordenadas. El resto de casos, son análogos.
9.- Propuesta de trabajo: Observa todos los casos posibles modificando la ecuación de la recta y/o de la parábola. Escribe en tu cuaderno de trabajo un ejemplo que hayas encontrado de cada caso, junto con la gráfica y una aproximación del punto de corte (si le hubiera). A continuación realiza el estudio algebraico de dichos ejemplos y compara resultados.
10.- Propuesta de trabajo: Estudia la posición relativa de las siguientes rectas respecto a las parábolas. Anota las respuestas en tu cuaderno de trabajo, acompañadas de una representación gráfica, y compara los resultados con los obtenidos mediante el estudio algebraico:
a) x-0'7y=1'8 respecto a y=x2-2.
b) y=-2 respecto a y=x2-2.
c) x+y=-3 respecto a y=3x2-7x+1.
d) x+y=2 respecto a y=3x2-7x+1.
|
|||||||||||||||
Los contenidos de esta unidad didáctica están bajo una licencia de Creative Commons si no se indica lo contrario.