RECTÁNGULO MÍNIMO

Bloque: Análisis

 

EL PROBLEMA

Entre todos los rectángulos que se pueden construir con las siguientes condiciones:
* Un lado contiene el punto A(2; 1,5).
* El lado opuesto al anterior tiene sus extremos en los semiejes positivos.
¿Cuál es el que tiene la menor base si la altura es 0,2?

Antes de abordar el problema utilizando una función que represente la longitud de la base dependiendo de una variable y hallar la mínima mediante los instrumentos que proporciona el análisis, crearemos una escena para obtener una aproximación numérica del resultado y que además dejará más claro el enunciado.

La escena es simple de utilizar, y no creo que sea necesario extenderse en más explicaciones pues es semejante a otra de una página anterior.

Puedes probar con otros valores de A(a,b) (los valores tienen que estar en el intervalo [0.5, 5]), y de la altura (h en [0, 0.75·min(a,b)]).

a:       b:       h:      

Se habrá observado que la longitud de la menor base coincide con la longitud del mayor panel que podemos transportar por el pasillo (si g=h); lo que era de espera, dada la experiencia que ya tenemos acerca de este problema.

RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA MEDIANTE DERIVADAS
Expresaremos la longitud de la base, la distancia entre P y Q, en función del ángulo α.

d(P,Q) = d(R,S) = d(A,R) + d(A,S)

teniendo en cuenta que:

d(A,R) = d(A,N) - d(N,R)

y

d(A,S) = d(A,M) - d(M,S)

se tiene que:

d(P,Q) = d(A,N) - d(N,R) + d(A,M) - d(M,S)

Sólo falta, eligiendo los triángulos adecuados, calcular cada una de estas longitudes en función de alguna razón trigonométrica de α y de "a" o "b" o "g" y realizar alguna manipulación algebraica con la expresión que resulte.

Y aquí lo vamos a dejar, pues la ecuación que resulta de derivar esta función e igualar a cero no es nada fácil de resolver; más bien, sólo podría hallar una solución aproximada mediante métodos de cálculo numéricos, y en definitiva, ¿qué son las escenas anteriores sino métodos numéricos de cálculo?

Un apunte final: Este problema es más real de lo que parece. Pensemos en un camión girando una esquina y estaremos ante un caso análogo al planteado.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Salvador Calvo-Fernández Pérez

 

Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2005

 

 



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