|
EXTREMS ABSOLUTS. OPTIMITZACIÓ |
| Anàlisi | |
EXTREMS ABSOLUTS. OPTIMITZACIÓ
En aquesta unitat definirem i explicarem les línies generals per trobar extrems absoluts de funcions definides en un interval J.
| Definició: Donada una
funció y=f(x) definida en un interva J, es diu que presenta un :
Màxim absolut en el punt x=a si f(x) < f(a) per qualsevol valor "x" de l'interval J. Mínim absolut en el punt x=b si f(x) > f(b) per qualsevol valor "x" de l'interval |
La qüestió està en el fet d'esbrinar si existeixen extrems absoluts i com es calculen.
Per assegurar la existència farem servir el següent teorema:
| Teorema de Weirstrass: Si una funció és continua en un interval tancat sempre existeix un màxim i mínim absolut |
En aquesta unitat suposarem que les funcions compleixen el teorema anterior i ens centrarem a analitzar com els podem trobar.
Utilitzem la següent escena per intuir un resultat clàssic.
Fes variar el valor de l'abscissa "a" i fixa't on estan situats els extrems absoluts.
A partir de l'escena anterior serà senzill entendre (intuitivament els següent resultat)
| Resultat: Els extrems
absoluts en un interval tancat poden estar situats en
i) Si són interiors coincideixen amb extrems relatius ii) Si no són interiors és que coincideixen en punts frontera de l'interval |
PROBLEMES D'OPTIMITZACIÓ
Intentarem proposar exemples gràfics on els extrems absoluts s'agafin en punts interiors o en els extrems de l'interval.
| Exemple 1: Donat un triangle isòscles inscrivim un rectangle tal com indica la figura de l'escena següent. Quan s'agafa el màxim de les àrees del triangle? |
Es tracta, només, de fer-ho gràficament utilitzant el control gràfic de l'escena següent. Si arrosseguem el punt P i observem la funció "àrea" veurem que és un cas on el màxim absolut coincideix amb el relatiu.
| Exemple 2: Aprofitant un segment d'una longitud constant el dividim en dues parts. Una d'elles és la base d'un quadrat i l'altra la base d'un triangle equilàter. Quan s'aconsegueix que la suma de les àrees sigui màxima i quan que sigui mínima.? |
Utilitzeu el control gràfic de la següent escena i ens donarem compte que en aquest cas el màxim s'agafa en un extrem de l'interval (Tot quadrat) en canvi el mínim és interior i coincideix amb un extrem relatiu.
| Exemple 3: Hem de construir una canalització des del punt A fins el punt B situts en ribes diferents d'un riu. El preu de cada metre per aigua és de "pa".€/m i el preu per terra "pt"€/m. Quina és la trajectòria (en dos segments rectes) més econòmica? |
En la següent escena podem variar tres coses: Els preus i el control gràfic per analitzar la funció preu total.
S'observa que el mínim s'agafa en un punt interior i per tant coincideix en un mínim relatiu.
També podem observar que conforme el preu per aigua va augmentant respecte el preu de terra, el mínim es va aproximant al extrem inicial de l'interval i en el l'imit ens quedarem sense extrems relatius en l'interval.
Exercicis:
1.- Dibuixeu els eixos de coordenades i el punt P(4,3). Traceu un segment que passi per P. Mesureu l'angle interior que forma amb la part positiva de l'eix de les X i mesureu la longitud d'aquest segment interceptat per la part poitiva dels eixos. Repetiu el procés amb diferents segments on l'angle estigui compres, per exemple, entre 30º i 70º. Feu una gràfica on en l'eix horitzontal poseu els valors de l'angle i en l'eix vertical la longitud del segment.
A partir de la gràfica obtinguda, dieu quin és el segment de mínima distància i l'angle que forma amb l'eix X.
Que podem dir del màxim ? 2.- Dibuixeu un triangle isòscels de 15 cm. de base (costat desigual) i 25 d'altura. Sobre l'altura, perpendicular al costat desigual del triangle, agafeu un punt qualsevol. Mesureu la distància fins els tres vèrtex del triangle i feu-ne la suma.Aneu variant el punt al llarg de l'altura.Feu una gràfica on en l'eix horitzontal es marqui la distància del punt escollit fins el vèrtex des d'on parteix l'altura i en l'eix vertical la suma de les distàncies.
A partir de la gràfica calculeu quina és la suma mínima i màxima.
La suma màxima i mínima són extrems relatius? Creieu que això depèn de les mesures del triangle? Feu-ne una discussió d'aquesta situació.
| Josep Blasco Rambla - Castellar del Vallès | ||
 |
||
| Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2007 | ||
Los contenidos de esta unidad didáctica están bajo una licencia de Creative Commons si no se indica lo contrario.