a)    Comprueba de igual manera que la sustracción en la progresión aritmética corresponde a la división en la geométrica.

b)    ¿Son ciertas las igualdades siguientes? ¿Por qué?

      log16 +log8= log(16 . 8) ;  log16 ‑ log8= log; log16= 2 log16 ;  log=(1/3) log64

   La gran ventaja del cálculo con logaritmos es la posibilidad de rebajar el grado de las operaciones aritméticas. Acabas de ver que transforman los productos en sumas, los cocientes en restas, las potencias en multiplicaciones y las raíces en divisiones por el índice de la raíz.

  Desde la antigüedad, diversos matemáticos trabajaron e investigaron en este campo. Arquímedes(siglo III) comparó y estudió las dos progresiones que has visto anteriormente, pero fue Stifel (siglo XVI) quien  sacó consecuencias importantes sobre ellas. La generalización de estos resultados a cualquier razón la progresión geométrica, no sólo a 2, llegaría años más tarde de manos de Bürgl y Napier (siglo XVII). Estos construyen y perfeccionan tablas en las que aparecen diversos logaritmos, sin hablar de una base para ellos, aunque ambos se aproximan al número e como base (los logaritmos con base e se llamaron logaritmos neperianos,en honor a Napier y se representan como ln x en lugar de log x).

  Posteriormente, Briggs, amigo de Napier, recogiendo las ideas de éste, construyó unas nuevas tablas logaritmos con base el número 10. Los logaritmos con base 10 se llamaron decimales, pues el 10 es la base de nuestro sistema decimal de numeración. Igual que en el caso de los logaritmos neperianos, su notación se abrevia, suprimiendo en este caso el 10 al escribirlos: log  x = log x.

     Inmediatamente después se mejoraron las tablas, pasando de calcular logaritmos con catorce cifras decimales a las actuales, en las que aparecen de cuatro a cinco cifras decimales. Con las calculadoras científicas, provistas de las teclas  log   y   ln   no es necesario utilizar las tablas.

    El oído humano percibe un rango enorme de intensidades sonoras I (medidas en vatios/m), entre un umbral I= 10 y sonidos  del orden de billones de veces más intensos, como muestra la siguiente tabla:

    Pero al crecer la intensidad geométricamente, la sensación percibida lo hace de forma aproximadamente aritmética. Por eso se introdujo la escala de medida en belios y decibelios (en honor de A. G. Bell, el inventor del teléfono), en la cual un sonido de intensidad I tiene, por definición, un nivel de intensidad de

 D = 10 log decibelios. Así, el sonido umbral    corresponde a 0 decibelios y un tráfico muy intenso a

 D=10 log=10log   =10log(8.10)=10(log8+8)=10(0,9+8)=89decibelios

 Aplicación: Calcula el nivel en decibelios de cada apartado de la tabla anterior y comprueba tus resultados.

       El 28 de julio de 1976, a las tres de la madrugada,  un terremoto de magnitud 7,9 arrasó la ciudad china  de Tanghan ,   

  cerca de Beijing, causando 600.000 muertos. El 28 de diciembre de 1908, uno de mag­nitud 7,5 mataba  en Messina (Italia)

  a 120.000 personas. El ­30 de septiembre de 1993, uno de magnitud 6,4 ­causó miles de víctimas en la India. Pero ¿que   

  significa «magnitud»?

   Una primera medida de la intensidad de los terremotos son los daños que ocasiona. Para lograr una caracterización más precisa, se han desarrollado diversas escalas. Ahora bien, hay una dificultad: parece lógico medir los seismos por la energía que liberan, pero estas energías son números muy enormes en ocasiones. Baste decir que hay terremotos cien mil millones de veces más fuertes que otros, y por otro lado que uno no muy intenso (magnitud 5,5) libera tanta energía como la explosión nuclear de 10 kilotones realizada en Bikini en 1946.

Para evitar esos números tan grandes, igual que ocurre para medir los sonidos, las escalas usan logaritmos. La escala más utilizada la introdujo en 1935 C. Richter (1900‑1985) y define la magnitud M de un terremoto en función de la amplitud A de sus ondas superficiales así:

M = log A + C (donde C = 3,3 + 1,66 log D ‑ log T  es una constante que depende del período T de las ondas re­gistradas en el sismógrafo y de la distancia D de éste al epicentro, en grados angulares). Es muy importante darse cuenta de que la magnitud M es una medida logarítmica. Eso hace que la diferencia en­tre dos seismos de magnitudes M= 6 y M= 8, que dicho así no parece muy grande, significa en realidad que en un caso  log ( A)+ C = 6, y en el otro log (A) + C = 8.

  Restando vemos que   logA‑ logA= 2, o sea   log (A_/ A₎ = 2, de donde A= 100A      ¡100 veces más intenso!

   Al ser logarítmica la magnitud M, una diferencia de 1 unidad en magnitud significa 10 veces más de amplitud en la onda sísmica registrada, lo cual puede ser catastrófico en sus efectos.  Un terremoto de magnitud 1 o  2 es muy débil, y los de magnitud mayor que 7 devastadores. El más fuerte registrado en España tuvo lugar en Granada en 1884,con una magnitud 6,7 en la escala Richter. El de San Francisco de 1906 tuvo magnitud 8,25.

Aplicación:  Investiga y contesta a éstas cuestiones:

                   ¿Que intensidad tuvo el terremoto que provocó el "tsunami" del 26 de Diciembre del año 2004

                    en el  Sudeste Asiático?

                             El posterior terremoto de intensidad 8,7 ¿en que lugar sucedió?¿en que fecha?.

	Miguel Ángel Cabrerizo Romero
	Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2005

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