1) LA RAÍZ CUADRADA DE TRES

Los que somos ya algo mayorcitos, aprendimos a calcular raíces utilizando un algoritmo farragoso que hoy rara vez se enseña. No obstante, y aunque dispongamos de nuestra flamante calculadora, es interesante conocer algún método de cálculo de raíces, más que nada porque ilustra bastante bien la rapidez con la que convergen algunos métodos iterativos. En esta sección vamos a presentar uno, basado en el siguiente

En la siguiente escena vamos a observar cómo, al cabo de unas pocas iteraciones, este algoritmo nos proporciona una más que aceptable aproximación de la raíz cuadrada de 3:

Como puedes observar, al tomar como primera aproximación x₀ = 2 bastan tres iteraciones (n = 3) para obtener una aproximación de la raíz cuadrada de 3 con una precisión de siete cifras decimales. Pulsa en los botones "Aumentar escala" y "Reducir escala" para ver, de forma gráfica, la diferencia entre la iteración correspondiente (segmento azul) y el verdadero valor de la raíz de 3 (segmento rojo)

ACTIVIDADES

• Determina cuántas iteraciones son necesarias para aproximar la raíz de 3 con una precisión de 8 cifras decimales, si tomamos x₀ = 5 como primera aproximación. Repite la actividad tomando distintos valores para la primera aproximación.
• Según los resultados anteriores, ¿cuál crees que es el mejor valor para la primera aproximación?

2) CUALQUIER RAÍZ CUADRADA

En la siguiente escena, puedes calcular la raíz cuadrada de un número entero positivo (el método serviría para cualquier número real positivo) con una buena aproximación. Elige el número a cuya raíz quieres aproximar y luego ve iterando hasta conseguir la aproximación deseada.

ACTIVIDADES

• Calcula la raíz cuadrada de 2, 5, 7 y 11 con una precisión de 8 cifras decimales. Prueba, en cada caso, tomando como primera aproximación los valores, 2, 3, 4, 5 y 10. Apunta cuantas iteraciones son necesarias en cada caso.
• Con los resultados de la actividad anterior, trata de encontrar una regla que nos permita elegir el mejor valor de x₀

3) Y AHORA, RAÍCES CÚBICAS

Para terminar esta primera sección, vamos a comprobar que el algoritmo funciona también para el cálculo de raíces cúbicas. Por comodidad nos vamos a ceñir al cálculo de raíces de números positivos pero el método es igualmente válido para números negativos. Como antes, elige un número a y la primera aproximación que desees, luego ve iterando para aproximar la raíz cúbica de a.

Trata de encontrar, como en el apartado anterior, una regla para elegir la mejor aproximación posible.

Como has podido comprobar en las escenas anteriores, estos algoritmos producen, de forma extraordinariamente rápida, aproximaciones sucesivas a la raíz deseada, pero ¿por qué? ¿por qué las iteraciones se aproximan caca vez más? y, sobre todo, ¿por qué se aproximan? ¿no es posible que las iteraciones se alejen en lugar de acercarse? Bueno, son muchas preguntas y por lo tanto son también bastantes las respuestas necesarias y requieren explicar conceptos bastante sencillos pero nuevos para ti. ¿Has oído hablar alguna vez de qué es un punto fijo y de qué es una aplicación contractiva?, seguramente no. Tranquilo, ya llegaremos, de momento vamos a presentar un nuevo algoritmo iterativo relacionado con la economía.