Límites en el infinito



I.- Comportamiento de una función cuando x®¥  o  x®-¥

 

Para expresar que x toma valores cada vez más grandes, ponemos  x®¥  (x tiende a más-infinito) . Por ejemplo si x toma valores 100, 1000, 10000... decimos que x tiende a más infinito.

Se dice que x tiende a menos-infinito (x®-¥) cuando los valores que toma x son negativos y cada vez más pequeños. Por ejemplo -100, -1000, -10000...

 

EJERCICIO 1

En esta escena se dibujan 5 funciones, que llamaremos f1, f2, f3, f4 y f5. Cambiando el valor del control función aparecerá la gráfica de cada una de ellas.

Los límites cuando x®¥ de estas cinco funciones son, dados en otro orden: ¥ , 0, -¥ ,  1 y una de ellas no tiene límite.

Se trata de que averigues qué límite corresponde a cada una de las funciones. Para ello puedes utilizar el zoom, para acercar o alejar las gráficas; puedes desplazar los ejes para ver que ocurre con la función para valores de x muy grandes o puedes cambiar el valor de x y fijarte en como varían las coordenadas de los puntos.

       

Anota en tu cuaderno los resultados, dibuja otras gráficas que se te ocurran y comprueba que se pueden dar cuatro casos en el límite de una función cuando x tiende a +¥. 

1-Los valores de f(x) se hacen tan grandes como queramos, f(x) tiende a ¥.

2- Los valores de f(x) se hacen tan pequeños como queramos, f(x) tiende a -¥.

3- Los valores de f(x) se aproximan a un número l tanto como queramos, f(x) tiende a l.

4- Los valores de f(x) no siguen ninguno de los comportamientos anteriores, f(x) no tiene límite.

EJERCICIO 2- ¿Sabrías decir a qué tiende cada una de las cinco funciones de la escena anterior cuando x® ?

                          - ¿Qué puedes decir acerca del comportamiento de una función cuando x tiende a -¥ ?. 

 

II -  Límite de una función polinómica CUANDO x®±¥ 
1. Límite de un monomio

      Es evidente que la función f(x) = x tiende a ¥ cuando x®¥ y tiende a cuando x®-¥. En la siguiente escena  se trata de averiguar cuál es el límite de una función de la forma f(x)=ax(según los valores de a y n).

 

 
EJERCICIO 1-

Haz en tu cuaderno, utilizando la calculadora, una tabla de valores para averiguar a qué tienden las siguientes funciones cuando x®¥ y cuando x®-¥:

f1(x) = 3x2   f2(x) = -3x2    f3(x)=0,5x3   f4(x) = -0,5x3

f5(x)=10x5        f6(x)=-10x4  

 Comprueba en esta escena los resultados, variando convenientemente a y n

Trata de generalizar los resultados anteriores para cualquier función de la forma f(x) = axn  

Propón ejemplos y comprueba que tu conclusión es correcta.

2. Límite de un polinomio

    Al acabar el ejercicio anterior debes saber, sin necesidad de hacer ningún cálculo, a qué tiende cualquier monomio cuando x tiende a +¥ o a -¥.   

    Ahora verás que hallar el límite de cualquier función polinómica es también muy sencillo.

    En la siguiente escena se puede dibujar cualquier función polinómica de la forma f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e  (es decir, podrás representar cualquier función polinómica hasta  grado 4, variando convenientemente los coeficientes)  los resultados se pueden extender fácilmente a un polinomio de cualquier grado.

 

 

EJERCICIO 1-

Ya sabes que f(x)=3x2®+¥ cuando x®+¥ ¿qué ocurrirá si completamos el polinomio? ¿A qué tenderá 3x2 +x? ¿Y 3x2+100x? (Responde a estas preguntas en tu cuaderno).

La respuesta a las dos cuestiones anteriores parece obvia, quizá no lo sea tanto la tendencia de las funciones y=3x2-6x o y= x2-10x. Escribe en tu cuaderno cuál te parece que es el límite de estas funciones.

Comprueba si tu respuesta es correcta utilizando la escena, en ella puedes dibujar cualquier función polinómica hasta grado 4. Asigna valores adecuados a los coeficientes y, haciendo que x tome valores muy grandes o simplemente desplazando los ejes, observarás qué ocurre cuando x®+¥ para las funciones anteriores.

¿Has sacado alguna conclusión de estos resultados?

EJERCICIO 2-

Repite el ejercicio anterior haciendo ahora que x tienda a -¥.

EJERCICIO 3- 

a) Intenta deducir cuál es el límite de las siguientes funciones polinómicas cuando x®+¥ :

f1(x)=x3-3x-10, f2(x)=2+x-4x3, f3(x)=10x3-x y f4(x)=(7-x)2.

b) Ahora di cuál será el límite de las funciones del apartado anterior cuando  x®-¥.

Comprueba tus soluciones utilizando la escena.

¿Se pueden generalizar los resultados anteriores?

EJERCICIO 4-

Una vez que hayas escrito una regla general para el valor del límite de un polinomio busca ejemplos y comprueba que se cumple.

 

III -  Límite de una función f(x) = k / P(x) CUANDO x®±¥ 
    Después de hacer los ejercicios anteriores ya sabes que el límite de cualquier función polinómica es ±¥ cuando x®±¥ 

   Ahora vamos a ver cuál es este límite cuando la función polinómica está en el denominador y en el numerador un número real k # 0.

 

 

 

EJERCICIO1-

Haz en tu cuaderno, utilizando la calculadora, una tabla de valores para averiguar a qué tienden las siguientes funciones cuando x®¥ y cuando x®-¥:

f1(x) = -1 / (3x2-10x) 

 f2(x) =100 /3x2  

  f3(x)= 2 / (10x- x3)  

 f4(x) = -7 / (10x- x3)  

Representa los resultados obtenidos.

En la escena puedes representar estas funciones (variando convenientemente k, a, b y n) y comprobar tus resultados. 

Observa la posición de estas funciones (para valores muy grandes o muy pequeños de x) en unos casos sobre el eje X y en otros por debajo. Justifícalo

Generaliza los resultados anteriores, propón ejemplos y comprueba tus conclusiones.

 


  Mª Jesús Pasarín Vázquez
 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2005
 
 
 

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