ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA

4º  E.S.O.

La ecuación de la circunferencia de centro el punto C (a, b) y radio r es:

                                       (x - a)² + (y - b)² = r²

Si en esta ecuación eliminamos los paréntesis y pasamos todos los términos al primer miembro, tendremos:

                     x² - 2ax + a² + y² - 2by + b² -  r² = 0   que ordenada sería

                     x² + y² - 2ax - 2by + a² + b² - r²  = 0

Llamando:   -2a = D,    -2b = E,    a² + b² -r² = F  la ecuación quedaría expresada de la forma:

                            x² + y² + Dx + Ey + F = 0  conocida como Ecuación General de la

Circunferencia en la que observamos:

• No existe término en xy

• Los coeficientes de x² e y² son iguales.

• Si D = -2a    entonces  a = -D/2

• Si E = -2b    entonces  b = -F/2

• Si F = a² + b² -r² entonces  r = Raíz cuadrada (a²+ b²-F)

La condición necesaria, por tanto, para que una ecuación dada represente una circunferencia es que:

                         a² + b² - F > 0

8. ¿Estas ecuaciones corresponden a una circunferencia?. En caso afirmativo, halla su centro y su radio.

        a) x² + y² + 8x + 6y - 119 = 0

        b) x² + y² - 6x + 8y + 26 = 0

        c) x² + y² + 6x + 8y + 44 = 0

        d) x² + y² - 4x = 1

9. Cambia los valores de D, E y F para obtener:

         - Una circunferencia con centro en el origen de coordenadas.

         - Una circunferencia con centro en (3,0).

         - Una circunferencia con centro en (0, -2).

10. Si el centro está en el eje X , qué parámetro se hace cero en la ecuación general? ¿Y  cuando el centro está en el eje Y?. Obtén una circunferencia que pase por el punto (0, 0), ¿qué características presenta?.

11. Halla la ecuación de la circunferencia concéntrica con la ecuación x² + y² - 4x + 10y + 15 = 0 y de radio 3.