JULIA Y MANDELBROT

Una transformación en el plano complejo

Considérese el plano complejo. A cada número complejo z se le hace corresponder otro número complejo que se calcula mediante la fórmula z² + c, donde c es un número complejo fijo predeterminado. Llamemos z(0) al número complejo original y z(1) al número complejo calculado de esta forma. En la escena siguiente se ilustra el efecto de esta transformación. La flecha une el complejo inicial (z(0), en rojo) con el transformado (z(1), en azul). Se ha escogido c = 0,38 + 0,15 i.

Puedes pinchar en el punto que representa z(0) y modificarlo. Comprueba cómo cambia z(1).

Observa qué pasa si eliges un z(0) lejano al origen de coordenadas. Puedes desplazarte por el plano complejo y cambiar la escala con los controles de la parte superior de la escena.

Investiga cómo cambia z(1) si z(0) se mueve siguiendo una trayectoria conocida (por ejemplo, una recta o una circunferencia). A tal efecto, activa el control rastro de la parte inferior de la escena. El botón limpiar hace desaparecer las trayectorias dibujadas.

Iterando la transformación

Iterar la transformación significa que al punto obtenido, z(1), también se le aplica la fórmula z² + c para obtener un nuevo número complejo z(2). Aplicando la fórmula a éste se obtiene z(3) y así sucesivamente. En todas las aplicaciones de la fórmula la constante compleja c siempre es la misma.

Observa qué sucede al iterar la transformación aumentando el control iteración de la parte inferior de la escena. El botón animar permite visualizar todas las iteraciones automáticamente. Como en la escena precedente, se ha escogido c = 0,38 + 0,15 i.

¿Qué sucede al cabo de unas 200 iteraciones? Como en la escena precedente puedes utilizar los controles de la parte superior de la escena para cambiar la ventana de visualización. Fíjate que el módulo de z(n) se hace cada vez mayor a partir de z(200). Diremos que, para el z(0) y la c que hemos escogido, la transformación iterada  z² + c es divergente.

Para detener la animación, utiliza el botón pausa.

Pinchando en z(0) puedes modificarlo y observar qué pasa con las sucesivas iteraciones a partir de un nuevo z(0). La transformación es convergente si el módulo de z(n) no escapa a infinito nunca. Naturalmente, esto no se puede saber a menos que hagamos infinitas iteraciones.

Alternativamente, puedes modificar de manera más "suave" el valor de la parte real (Re) y la parte imaginaria (Im) de z(0) utilizando los controles de la parte inferior de la escena. Pulsa el botón inicio para regresar al valor de z(0) original (z(0) = -0,1176 - 0,42354 i) y modifica el valor de la parte imaginaria de z(0) a -0,42355 i. Observa las sucesivas iteraciones que se obtienen tras este pequeño cambio de z(0). ¿Diverge ahora?

Para el valor de c escogido aquí es común que, al iterar la transformación, z(n) vaya visitando los mismos (o parecidos) números complejos periódicamente. Con el cambio sugerido en el párrafo anterior se observa que z(n) queda "atrapado" en un ciclo a partir de, aproximadamente, z(200).

Jugando con el valor de c

Al cambiar el valor de c se modifica el comportamiento de la transformación: un z(0) para el que divergía puede producir ahora una transformación convergente y viceversa. En esta escena se ha cambiado el valor de c, que ahora es -0,39 - 0,59i. ¿Cuál es el comportamiento de z(0) en estas condiciones?

Al igual que en la segunda escena, puedes modificar z(0) pinchando en el punto o con los controles de la parte inferior. Ahora también se puede modificar el valor de c en su parte real e imaginaria con los controles que hay en la parte superior de la escena. Prueba diversos valores de c y z(0) e investiga qué sucede. (Sugerencias: c = -0,8 + 0,15 i, ...)

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	Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2007

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