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Las
desigualdades son expresiones de la forma A<B,
donde A y B pueden ser expresiones numéricas ó algebraicas y
el símbolo "<(menor que)" podría
ser >(mayor que) ó
≤(menor
ó igual que)" ó
≥(mayor
ó igual que). A la expresión que hay a la izquierda le
llamaremos primer miembro y a la que hay a la derecha, segundo
miembro.
Ejemplo:
2·4-1<10
es
una desigualdad "cierta" (equivalente a
7<10).
En esta última, el primer miembro es 7 y el segundo 10.
Regla de la
suma: Si sumamos (o restamos) una misma cantidad a los dos
miembros de una desigualdad, obtenemos otra desigualdad
equivalente del mismo sentido. O sea, A<B
Û
A+C<B+C para cualquier cantidad C.
Si sumamos 2
unidades a los dos miembros de la desigualdad anterior,
tendremos que 7+2<10+2, ó sea, 9<12 (cierto).
Restando 3
unidades (por ejemplo) a los dos miembros, tendremos
7-3<10-3, ó sea, 4<7 (cierto).
Regla del
producto: Si multiplicamos (o dividimos) los dos
miembros de una desigualdad por una misma cantidad (distinta
de cero) , obtenemos otra desigualdad equivalente, del mismo
sentido si C>0 y de sentido contrario si C<0. O
sea, A<B
Û
(A·C<B·C si C es una cantidad positiva ó A·C>B·C si
C es una cantidad negativa).
Si en la
desigualdad 7<10 multiplicamos los dos miembros por 2,
tendremos que 7·2<10·2, ó sea, 14<20.
Si lo hacemos
por (-2), tendremos 7·(-2)>10·(-2), ó sea, -14>-20.
(Observa que lo que antes era "<" se ha
convertido ahora en ">"; la desigualdad ha
cambiado de sentido).
Una inecuación
es una desigualdad entre expresiones algebraicas. A las letras
de dichas expresiones algebraicas les llamaremos incógnitas,
y dependiendo de cuantas haya, diremos que se trata de una
inecuación con una, dos, tres,...incógnitas.
Ejemplo: 3x-4≤2
es una inecuación con una incógnita (x).
Los valores de
la incógnita(as) que hacen cierta la desigualdad se llaman soluciones
de la inecuación. Para la inecuación anterior, x=0 es
solución (porque es cierto que 3·0-4≤2),
pero x=3 no es solución (porque no es cierto que 3·3-4≤2).
Resolver una inecuación consiste en encontrar
todas sus soluciones.
Diremos que dos
inecuaciones son equivalentes si tienen las
mismas soluciones. Por ejemplo, 3·x-4≤2 es
equivalente a 3·x≤6 ó a
x≤2.
Podemos
utilizar la Regla de la suma y la Regla del producto
para transformar una inecuación en otra equivalente más
sencilla de resolver.
Por ejemplo:
4x-3≤
5+2x
Û (Sumando 3 a los
dos miembros) 4x≤
8+2x
Û (Restando 2x en
los dos miembros) 4x-2x≤
8
Û 2x≤
8
Û (Dividiendo por 2
en los dos miembros) x≤
4; luego las soluciones de esta inecuación son todos los
números del intervalo (-∞,4].
Nota: Si
fuese 4x-3 < 5+2x, la solución sería el intervalo
(-∞,4).
En las páginas
siguientes aprenderemos a resolver distintos tipos de
inecuaciones.
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