Dilataciones.

1º de Bachillerato Tecnológico.

 

4.- Efecto de una dilatación horizontal.

Dilatar una función cualquiera  y=f(x) según una dirección horizontal, del eje OX, equivale en la ecuación a multiplicar en todas las ocurrencias de la variable abscisa, horizontal, esta cantidad dilatación,  y=f(a·x). Si la dilatación  es positiva todas las abscisas serán proporcionales según esta cantidad, que siendo positiva, estará comprendida entre los valores 0 y 1; en caso contrario, esto es, una disminución en escala según el eje horizontal, la cantidad será mayor que la unidad. Siempre se refleja en  la ecuación un efecto al contrario de lo que parece.

Observa que cuando comparamos los valores de la primera ecuación (xo, yo) con los de la segunda (x1, y1); con el objetivo de provocar que el  nuevo punto siga verificando  la nueva ecuación, la abscisa deberá ser dividida  por la misma cantidad en la que hemos dilatado, esto es a. Si hemos multiplicado por 2, las abscisas que verifiquen la ecuación, o sea, nuestra gráfica, se verán reducidas, divididas, en su mitad. Dicho de otra manera, si multiplicamos por ½, estamos duplicando la escala del gráfico. Si multiplicamos por 2, estamos provocando una dilatación negativa, también llamada compresión, de valor  ½.

 Dilatación horizontal

 

La función gris representa cualquier función estándar. Edita la que quieras, a continuación edita la de color azul pero sustituyendo x por a·x

Aprecia el efecto de ir variando a con el control.

Observa como varía el tamaño del vector que une puntos homólogos de la transformación. Un punto de la gráfica inicial que tenga una abscisa menor sufrirá una dilatación inferior que aquel punto que tenga una abscisa mayor.

 

 

EJERCICIOS:

6.- En tu cuaderno, y utilizando la escena anterior, representa las funciones:

                                    y = sen(3·x),   y =2/x,   y = log(x/2),   y = - atan(3·x),   y = - exp(x/3).  

 

5.- Efecto global de una dilatación sobre los dos ejes.

Como todo funciona a la perfección, la dilatación vertical afectará a la ordenada con los mismos criterios que con la abscisa. Por tanto, podemos hablar ya de dilatación según los dos ejes, será la combinación de los dos casos mencionados. Pudiéndose producir una compresión en una dirección y en la transpuesta una dilatación, sin haber ningún contrasentido. A veces explico que si tuviéramos una pizarra elástica, como una membrana, la dilatación positiva horizontal se podría entender como el efecto de dibujar la estándar primero, y luego, habiendo puesto una pinza que sujeta la membrana según el eje Oy, estirar la pizarra  expansionando los dos extremos horizontales. Para mostrar la compresión, basta estirar primero, para dibujar en esta situación la estándar, a continuación al soltar la pizarra elástica todo volvería a su situación inicial, provocando el efecto de una compresión. Según el eje vertical, sería abundar en el tema.

Dilatación compuesta

Después de editar una ecuación acuérdate de confirmar la edición pulsando Enter.

Ahora puedes controlar las dos dilataciones paralelas a los ejes de modo independiente.

Fíjate en el campo vectorial que definen los vectores amarillos dependiendo de la cercanía a cada eje por separado. A medida que se aleja el punto P de ellos observamos más palmaria la dilatación.

 

EJERCICIOS:

7.- Representa cada gráfica con la escena anterior:

  a) y = 4· x^2;  b) y = 3/(2·x); c) y·2 =atan(3·x); d) y = - 2· exp(x/2); e) y =2·log10(2·x).

 

 

 

 

 

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Jordi Vidal Chillida

 

Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2007