LOS RECUBRIMIENTOS DEL PLANO
Geometría en el arte de M.C. Escher
1. EL RECUBRIMIENTO DEL PLANO POR TRIÁNGULOS.
M. C. Escher dedicó una buena parte de su carrera a diseñar grabados que contenían recubrimientos con piezas en forma de animales. Para construir estas piezas se inspiró en los arabescos musulmanes. Estas decoraciones se realizaban partiendo de polígonos (en su mayoría regulares) que mediante determinadas transformaciones se convertían en las figuras que posteriormente cubrían una superficie de forma regular y sin dejar huecos entre ellas.
1.- Imagina que deseas cubrir una superficie (por ejemplo el suelo de una habitación o la pared de azulejos de un baño). Pon ejemplos de polígonos que te permitirían cubrir esa superficie sin dejar huecos.

2.- Si has pensado en un cuadrado como una posible solución del ejercicio anterior, bastaría con partir cada baldosa por la diagonal para obtener baldosas triangulares que recubran el plano. ¿Cómo son esos triángulos?

La figura que está encerrada en un fondo azul más oscuro se puede modificar sin más que mover los dos controles que aparecen en dos de sus vértices.
La figura que aparece en la zona azul más claro se puede trasladar a la zona marrón sin más que arrastrar el control de su vértice inferior izquierdo.
3.- Comprueba que la hipótesis anterior es cierta utilizando la escena contigua.
Cada pieza que vayas trasladando tiene asociada una letra. Alrededor de la escena aparecen parámetros del tipo giroA. Modificando su valor (grados sexagesimales), la pieza cuya letra se corresponda con la del parámetro girará los grados marcados.

4.- Generaliza el resultado obtenido en la actividad 3 a cualquier tipo de triángulo.

5.- Demuestra que con cualquier familia de triángulos iguales que diseñes se puede cubrir una banda del plano delimitada por dos rectas paralelas.

6.- Intenta demostrar por qué los triángulos recubren el plano. Indicación: Piensa qué relación hay entre los tres ángulos de cualquier triángulo. Después colócalos en una banda.

Cualquier triángulo puede recubrir el plano.
2. EL RECUBRIMIENTO DEL PLANO POR CUADRILÁTEROS
Basta mirar a tu alrededor para ver muchos ejemplos de recubrimientos. La mayoría son cuadriláteros, y en particular cuadrados y rectángulos.

7.- Observa que hay varias maneras de cubrir el plano con cuadrados. Para ello basta desplazar los cuadrados de una fila un poco más a la derecha o izquierda de manera que las aristas no coincidan. En esta unidad estamos interesados en los recubrimientos arista con arista, por lo que este tipo de recubrimientos quedan descartados.

8.- Investiga si los paralelogramos recubren el plano.

9.- Demuestra, basándote en los resultados obtenidos en la actividad anterior, que los paralelogramos lo recubren.

10.- Prueba que cualquier cuadrilátero recubre el plano, incluidos los que nos son convexos (por ejemplo, una punta de flecha).
Cualquier cuadrilátero, incluidos los no convexos, recubren el plano.

11.- Al hacer un embaldosado con cuadriláteros en la escena podrás comprobar cómo cada dos cuadriláteros unidos por una arista forman un hexágono con lados que son paralelos.

No todos los hexágonos recubren el plano, pero sí lo hacen los hexágonos regulares. Los triángulos equiláteros, los cuadrados y los hexágonos regulares son los únicos polígonos regulares que recubren el plano.
3. EL RECUBRIMIENTO DEL PLANO POR PENTÁGONOS
Hasta el momento era posible esperar que cualquier polígono irregular, con cualquier número de lados, recubriese el plano. Pero esto no es cierto. ¿Habrá alguna clase de pentágonos que recubran el plano?

12.- Comprueba que, en general, cualquier pentágono no recubre el plano.

13.- Prueba con un pentágono que se asemeje a una fachada de una casa. ¿Recubrirá el plano?

14.- Observa que este tipo de pentágonos se puede dividir en un rectángulo y un triángulo que recubren bandas del plano.

Aún en nuestros días no se conoce con precisión todas las clases de pentágonos que recubren el plano y es una problema complicado.
Sin embargo, está probado que no existe ningún polígono convexo de 7 o más lados que recubra el plano.
Enrique Martínez Arcos
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2001

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