JINETES A CABALLO
Geometría en el arte de M.C. Escher

1. UN PUZZLE CON PIEZAS DE IGUAL SUPERFICIE PERO NO IGUALES.
Hasta este momento para construir un mosaico de Escher se habían utilizado piezas exactamente iguales, dispuestas de la manera más conveniente para que encajaran totalmente.
1.- En un papel cuadriculado dibuja una de las piezas amarillas de la escena contigua. Cópialo varias veces (o haz fotocopias) y recórtalas. A modo de puzzle intenta recubrir el plano. ¿Es posible?

2.- A la mitad de las piezas dalas la vuelta (¡ojo! no confundas con girarlas 180º) y vuelve a intentar la actividad propuesta en el punto anterior. ¿Ahora es posible?

3.- ¿Qué relación geométrica hay entre una pieza y esa misma pieza dada la vuelta?

4.- Observa el mosaico que aparece en la escena. Es el primer esbozo de un grabado titulado Jinetes a caballo. Busca en las direcciones de Internet que hay en la introducción de la unidad el grabado finalizado y compara con el que aquí aparece.

5.- Intenta reproducir la pieza original de un jinete a caballo ayudándote de la pieza boceto que aquí se presenta.

2. SIMETRÍA CON DESLIZAMIENTO
Si te has fijado bien en el mosaico anterior habrás observado que, por una parte, las piezas amarillas y rosas miran hacia sentidos contrarios. Por otra parte, no están alineadas, es decir, las piezas rosas están por encima o por debajo de las piezas amarillas. Este efecto se consigue mediante la simetría con deslizamiento.

6.- En una hoja de papel cuadriculado, dibuja una pieza, de las de color rosa, del mosaico jinetes. Elige diferentes rectas y realiza las correspondientes simetrías o reflexiones de la pieza. ¿Podemos conseguir la pieza amarilla en la misma posición que se encuentra en el mosaico?

7.- De todos los posibles ejes de simetría, deduce cuál de los verticales nos proporcionan la posición de la pieza simétrica adecuada.

8.- ¿Qué relación hay entre la pieza obtenida por simetría y la que ocupa la posición amarilla?

La simetría con desplazamiento es el resultado de componer (o realizar consecutivamente) una simetría y una traslación.
9.- Intenta obtener la pieza del boceto del mosaico Jinetes, utilizando simetría con desplazamiento y partiendo del cuadrilátero que aparece en la escena.
Pulsando el botón Animar podrás observar el resultado

10.- Fíjate en la forma que tiene el cuadrilátero. Si recortamos una parte de alguno de los lados situados más a la izquierda de la figura, ¿podríamos utilizar un eje de simetría más a la derecha de la recta que une los dos vértices centrales? Analiza la existencia de dos ejes de simetría.

11.- El cuadrilátero empleado es una figura simétrica respecto a la recta horizontal que une los dos vértices más alejados a derecha e izquierda. ¿Esta propiedad es importante a la hora de elegir el polígono base? Repite el proceso con otros polígonos, regulares o no, y observa los resultados.


3. MATERIAL PARA CONSTRUIR PIEZAS
Puedes construir hojas punteadas que pueden ayudarte para construir mosaicos de Escher.

7.- Proponemos dos tipos de hojas según el tipo de polígono que se quiera construir. La cuadriculada, que permite diseñar triángulos rectángulos y paralelogramos con facilidad. La segunda hoja está preparada para dibujar triángulos equiláteros y hexágonos regulares.

Para ver los diferentes tipos de diseño, avanza una unidad el parámetro opción.

8.- Deduce las dimensiones que aparecen, para facilitar su realización.

9.- Además de las hojas punteadas, necesitarás tijeras, reglas, compás y celo para pegar los recortes de los lados, según las reglas que hemos visto.

10.- Ahora basta decorar las piezas que diseñes para que adquieran formas humanas, animales o aquello a lo que tu imaginación te conduzca.


Enrique Martínez Arcos
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2001

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