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3.4.- Bases en el Espacio Vectorial.
Ya hemos visto cómo obtener
combinaciones lineales de varios vectores. Pues bien, daremos ahora dos
definiciones que guardan relación con estas operaciones:
Vectores linealmente
dependientes: Un conjunto de vectores será linealmente dependiente
si alguno de ellos se puede expresar como combinación lineal del resto. Otra
definición equivalente será que el vector cero se podrá expresar como
combinación lineal de este conjunto de vectores en el que al menos algún
coeficiente será distinto de cero.
Vectores linealmente
independientes: Un conjunto de vectores será linealmente independiente
si ninguno de ellos se puede expresar como combinación lineal del resto de
los vectores. Otra forma de definirlo será si el vector cero sólo se puede
expresar como combinación lineal de estos vectores cuando los coeficientes
que multiplican a cada vector son nulos.
Pues bien, en el estudio
del plano, siempre que tengamos un conjunto de dos vectores linealmente
independientes, PODREMOS EXPRESAR CUALQUIER VECTOR DEL PLANO COMO
COMBINACIÓN LINEAL DE ESTOS DOS VECTORES.
La idea es sencilla: en el
plano nos encontramos con dos dimensiones, el largo y el ancho. Cada vector
dará una dirección del plano. Si tenemos dos direcciones, a partir de éstas
podremos obtener el resto de direcciones simplemente con buscar
combinaciones lineales de estos vectores.
Esta idea se recoge en la
siguiente definición:
BASE DE UN ESPACIO
VECTORIAL:
Una base es un conjunto
de vectores linealmente independientes y que son capaces de generar
cualquier vector de dicho espacio. En nuestro estudio del plano, una
base estará formada por dos vectores linealmente independientes.
COORDENADAS DE UN VECTOR
RESPECTO DE UNA BASE:
Las coordenadas de un
vector respecto de una base son los escalares por los que hay que
multiplicar los vectores de la base de forma que representen al vector dado
mediante una combinación lineal de dichos vectores de la base.
En la siguiente escena
practicaremos con estos conceptos.
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