FUNCIONES CUADRATICAS

Son funciones polinómicas  de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.

f(x) = ax² + bx +c

En esta introducción teórica veremos los puntos claves a representar gráficamente de la función cuadrática.

Representación gráfica de la parábola

Podemos construir una parábola a partir de estos puntos:

1. Vértice

Por el vértice pasa el eje de simetría de la parábola.

La ecuación del eje de simetría es:

2. Puntos de corte con el eje OX

En el eje de abscisas la segunda coordenada es cero, por lo que tendremos:

ax² + bx +c = 0

Resolviendo la ecuación podemos obtener:

Dos puntos de corte: (x1, 0) y (x2, 0) si b² − 4ac > 0

Un punto de corte: (x1, 0)si b² − 4ac = 0

Ningún punto de corte si b² − 4ac < 0

3. Punto de corte con el eje OY

En el eje de ordenadas la primera coordenada es cero, por lo que tendremos:

f(0) = a · 0² + b · 0 + c = c (0,c)

    Ejercicio de muestra:

Representar la función f(x) = x² − 4x + 3

1. Vértice

x= − (−4) / 2 = 2                        y= 2² − 4· 2 + 3 = −1

V(2, −1)

2. Puntos de corte con el eje OX

x² − 4x + 3 = 0

(3, 0) (1, 0)

3. Punto de corte con el eje OY

(0, 3)



FUNCIÓN CUADRÁTICA

Representación gráfica

Forma de la función cuadrática y representación gráfica dependiendo de los valores de a,b y c

En esta primera experiencia partimos de que la funcion cuadrática es de la forma  f(x) = ax² + bx +c  y la representaremos gráficamente según los valores de a,b y c. Sabiendo estos valores hallaremos los puntos claves (puntos de corte y vértice).

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1.- ¿Qué sucede si c=0?, ¿Qué sucede si b=0?, ¿Qué sucede si a=0?, ¿Qué sucede si dos de las letras valen cero?
2.- Da valores de a=1, b=1, c= 2 y halla el vértice
3.- Halla los puntos de corte con los ejes con a = 2, b= 2 y c=1, comprueba también esta vez las coordenadas del vértice.
4.- Comprueba que cuando c=0 el punto de corte con las abcisas es siempre cero, razona la respuesta.




Parámetros de la parábola (dominio, recorrido) y obtención de los valores de la función a partir de x

En la actividad anterior hemos obtenido la gráfica de la parábola o función cuadrática, una buena forma de comprobar que lo hemos hecho esta bien es dar valores a x e y y obtener el valor de y con la función dada en forma algebraica, de esta forma construiremos una tabla con valores de x e y. Una vez obtenida esta tabla veremos que dichos puntos coinciden con los valores de la gráfica.

En la actividad tendremos construida la parábola y recorreremos la gráfica para cada valor de x, de esta forma analizaremos el dominio, el recorrido y el crecimiento y los puntos de inflexión para cada valor de a,b y c.

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5- Una vez construida la gráfica, ¿Qué podemos decir del dominio de las parabolas?, ¿Y de la imagen?, ¿De qué depende la imagen?. Recorre la parábola a través del punto P de izquierdas a derechas (dominio) y obtendrás los valores posibles de y (imagen).

6- ¿Cómo es el crecimiento y decrecimiento de la función dependiendo de si a es positivo o negativo?
7- Independientemente del valor de a, ¿Cuándo pasa la función de creciente a decreciente o al reves?
8- Para las zonas de crecimiento o decrecimiento, ¿Influye el valor de b y c?, ¿Cu´l era el punto de inflexión?



Obtención de las zonas de crecimiento, decrecimiento, concavidad y convexidad a partir de la expresión algebraica

En los apartados anteriores hemos representado gráficamente la función y hemos hallado los puntos clave ahora comprobamos los puntos de inflexión a partir de la derivada primera y segunda.

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9.- Da valores a x  y construye una tabla con valores de x e y para las parábolas con valores de a=1,b=2, c=-1 y a=-2, b=-3,c=1

10.- Comprueba el punto de inflexión gráficamente y con la derivada primera, ¿Con qué punto singular coincide?
11.- ¿Cuándo una parábola es concava?, ¿Cuándo convexa?, ¿De qué parámetros depende?


Relación de la primera derivada en un punto en una curva con la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto
En la actividad anterior hemos analizado como la curva decrece y crece y lo hemos relacionado analíticamente con la primera derivada. También hemos visto cuando la curva es concava y convexa. Ahora lo que haremos es relacionar los conceptos de crecimiento y decrecimiento y los valores de la primera derivada con la pendiente de la recta tangente a la curva en cada punto.


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12-  Recorre la parábola a través del punto P de izquierdas a derechas (dominio) y verifica que en los tramos descendentes la recta tangente a P tiene valores de pendiente negativa y en los tramos crecientes la pendiente de la recta tangente en cada punto es positiva.

13- Excoge  un punto cualquiera P  y halla el valor númérico de la primera derivada en ese punto, después halla la pendiente de la recta tangente en ese punto.
14- ¿En qué punto la pendiente de la recta tangente es igual a cero?
15- Construye la misma parábola en esta escena y en la anterior y sitúa el punto en el mismo lugar y comprueba que el valor en ese punto de la primera derivada es el mismo que el valor de la pendiente.


 

Enrique Pérez Porres

 

Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2011

 
 

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