¿Cuál es la probabilidad de que un alumno, elegido al azar, tarde en su desplazamiento entre 12 y 16 minutos?, ¿y la probabilidad de que tarde menos de 12 minutos? Tratamos, pues, ahora de hallar la probabilidad de que el tiempo de un alumno, elegido al azar, se encuentre entre dos valores dados t₁y t₂, que escribiremos así:

 P[t₁<X<t₂] = "probabilidad de que el tiempo esté entre t₁y t₂"

El valor de la probabilidad buscada se halla obteniendo la frecuencia relativa correspondiente al intervalo comprendido entre t₁y t₂, pues el valor de la frecuencia nos da la proporción existente entre el nº de alumnos que invierten ese tiempo y el número total de alumnos.

En consecuencia, según lo que hemos visto en las escenas 1 y 2 para hallar probabilidad, nos bastará con hallar el área que encierra el histograma entre estos dos valores (en nuestro caso equivale a contar los cuadraditos que hay bajo la línea superior del histograma, entre t₁y t₂).

1.- Cada vez que se pulsa en Inicio se obtiene una nueva distribución.

2.- El control tiempo inf(t1) se usa para introducir el límite inferior del tiempo, t₁, que también se puede fijar arrastrando con el ratón el punto amarillo situado en el eje OX.

3.- De forma análoga, el control tiempo sup(t2) se usa para introducir el límite superior del tiempo, t₂, que también se puede fijar arrastrando con el ratón el punto rojo situado en el eje OX.

4.- Al cambiar t₁y t₂ cambia también la zona de color turquesa que limitan, cuya área nos da probabilidad buscada.

        Ejercicios: Responde en tu cuaderno a las siguientes cuestiones:

1. Comienza pulsando Inicio. Comprueba que la probabilidad de que un alumno tarde de 12 a 16 minutos coincide con la frecuencia relativa que aparece en la tabla de la izquierda para la clase 12-16.

2. Para hallar P[X<12], suma las frecuencias correspondientes a las clases 0-4, 4-8 y 8-12, comprueba luego que obtienes el mismo resultado que si introduces 0 en el control de t₁, y 12  en el control de t₂.

3. Para hallar P[6<X<12], dividimos por 2 la frecuencia de la clase 4-8 y le sumamos la de 8-12, comprueba también que obtienes el mismo resultado que si introduces 6 en el control de t₁, y 12  en el control de t₂.

4. Calcula las siguientes probabilidades y comprueba luego en la escena que los resultados son correctos:

P[2<X<8],  P[X>10],  P[14<X<18],  P[7<X<14],  P[9<X<10],  P[X<11], P[11<X<15].

5. Pulsa inicio para obtener nuevos datos y repite el ejercicio 4.

En esta escena, para asignar la probabilidad de que X esté entre 6 y 8 (suponiendo el nº interv =5, que es como está al comienzo) tenemos que suponer que el nº de alumnos que tardan entre 4 y 6 minutos es igual al nº de alumnos que tardan entre 6 y 8 minutos, por ello dividimos la frecuencia de la clase 4-8 entre 2. Pero esto no es así y en consecuencia cometemos un error.

El error cometido al suponer que el nº de alumnos se distribuye uniformemente en cada una de las clases , es más pequeño, cuanto menor sea la amplitud de las clases, es decir, cuanto más aumentamos el nº interv. Por tanto, al ir incrementando el nº de clases, la probabilidad asignada al intervalo  (t₁,t₂) se va aproximando más a su valor verdadero, que obtendríamos si pudiéramos calcular el área encerrada bajo la función de densidad entre t₁ y t₂, la probabilidad teórica.

1.- Los controles Inicio, t1 y t2 realizan la misma función que en la escena anterior.

2.- Al igual que en la escena 3, si se pulsa sobre los botones de nº interv va cambiando el número de clases en los que se agrupan los tiempos.

3.- Al pulsar sobre el control Pol Frec , aparece o desaparece la poligonal de frecuencias

4.- Cuando el control  Histograma es = 0, aparece la línea poligonal, perímetro del histograma, de color azul, que tiende, igual que la poligonal de frecuencias (mirar la escena 3) hacia la función de densidad.

Ejercicios: Responde en tu cuaderno a las siguientes cuestiones:

1. Comienza pulsando Inicio. Comprueba que la probabilidad de que un alumno tarde entre 6 y 11 minutos, que aparece arriba de la escena en verde, se corresponde con el área coloreada en turquesa. Para ello puedes contar el nº de cuadraditos teniendo y recuerda que el área de cada uno es 0,01 (representa el 1% de los alumnos)

2. Cambia los valores de t₁y t₂, por ejemplo t₁=3 y t₂=9, y repite 1.

3. Comienza de nuevo pulsando Inicio. Aumenta el nº de clases y a la vez observa el valor de la probabilidad que aparece arriba. ¿cuál crees que será el valor de la probabilidad teórica? ¿coincidirá con alguno de los valores que aparece?

4. Pulsando los controles Pol Frec  y Histograma haz que aparezcan y desaparezcan la poligonal de frecuencias y el perímetro del histograma y observa como el área encerrada por ambas es la misma (para un número de intervalos suficientemente grande)

5. Halla la probabilidad teórica de los siguientes intervalos (Para ello ten en cuenta que si tanto t₁ como t₂ coinciden con algún extremo de las clases consideradas, el valor asignado en ese caso coincide con la probabilidad teórica):

P[7<X<13],  P[X<5],  P[6.5<X<9],  P[X<14.5],  P[5.2<X<7.6],  P[X>10.4].

La Distribución Normal es continua, simétrica y la media coincide con el máximo de la curva, siendo P[X>media] = P[X<media] = 0.5.

En esta escena, a diferencia de las 5 anteriores, la distribución de frecuencias es simétrica. La poligonal tiende a la curva normal dibujada en amarillo.

1.- Los controles Inicio, t1 y t2 realizan la misma función que en las dos escenas anteriores.

2.- Si el control Pol Frec  = 1 se muestra la poligonal de frecuencias.

3.- Cuando el control  Histograma es = 0, se muestra sólo el perímetro del histograma, conviene usarlo cuando el nº de intervalos es grande.

4.-El control P Teor/Exper cuando es =0, nos muestra, en color turquesa, el área que encierra el histograma entre t₁y t₂;  y cuando es =1, en color amarillo, el área que encierra la curva normal entre los mismos valores de t₁y t_2.

El valor de la probabilidad empírica o experimental (probabilidad asignada a partir del área que encierra el histograma) entre t₁y t₂, aparece en la parte superior de la escena en color turquesa, y debajo, en color amarillo el valor de la probabilidad teórica (probabilidad asignada según el área que encierra la curva normal) entre t₁y t₂.

Ejercicios: Responde en tu cuaderno a las siguientes cuestiones:

1. Pulsa sobre los botones P Teor/Exper y observa ambas áreas. Anota los valores de la prob. teórica y empírica. Repite lo que has hecho con t₁ = 14.1 y t₂ = 15.8. Después con t₁ = 12.3 y t₂ = 13.9. Explica por qué se diferencian los valores teórico y empírico de la probabilidad.

2. Haz Histograma  = 0. Anota los valores teórico y empírico de P[3.4<X<14.8]. Aumenta el nº de intervalos. ¿Qué ocurre con los valores de P[3.4<X<14.8]?. Vuelve a lo mismo dando a t₁y t₂ los valores del ejercicio 1.

3. Con Histograma = 0, Pol Frec = 1, y t₁= t₂  (para mayor claridad en la escena) ve aumentando el nº de intervalos ¿Qué ocurre con la poligonal de frecuencias?.