I. UN POCO DE HISTORIA

II. SUPERFICIE CÓNICA

III. LUGAR GEOMÉTRICO

1. LAS CÓNICAS

I. UN POCO DE HISTORIA

Las curvas cónicas fueron estudiadas por matemáticos de la escuela Griega hace mucho tiempo.

¿Quién fue el primero en estudiar las cónicas? Una de las primeras personas en estudiar las secciones cónicas fue Menaechmus (Menecmo) de Grecia, alumno de Eudoxio, como consecuencia de su interés en el problema de construir con regla y compás un cubo de volumen doble al de un cierto cubo dado; esto sucedió en el siglo IV  a. C. Probablemente, Menecmo encontró algunas propiedades de las secciones cónicas, como las asíntotas de la hipérbola, aunque no existe ningún documento que lo demuestre. En el mismo siglo el geómetra Euclides escribió 4 libros sobre las secciones cónicas, de los cuales ninguno se conserva en la actualidad. Según Pappus de  Alejandría, Aristeo (contemporáneo de Euclides) trabajó las cónicas y las llamó: sección del cono rectángulo, sección del cono acutángulo y sección del cono obtusángulo (parábola, elipse e hipérbola actual). Pero, al igual que ocurre con los cuatro libros de Euclides, no se conservan documentos de esos trabajos.

El primer tratado escrito que se conserva sobre las secciones cónicas es debido a Apolonio de Perga. En sus 8 libros Apolonio estudia las propiedades geométricas de las secciones cónicas. Las figuras que se van a estudiar, todas ellas conocidas con el nombre genérico de cónicas, se pueden obtener como intersección de una superficie cónica con un plano.

Previamente a este trabajo existían estudios elementales sobre determinadas intersecciones de planos perpendiculares a las generatrices de un cono, obteniéndose elipses, parábolas o hipérbolas según que el ángulo superior del cono fuese agudo, recto u obtuso, respectivamente. Si bien no disponía de la Geometría Analítica todavía, Apolonio hace un tratamiento de las cónicas que se aproxima mucho a la misma. Los resultados obtenidos por Apolonio sobrevivieron sin cambios hasta que Fermat y Descartes, en una de las primeras aplicaciones de la Geometría Analítica (Fermat y Descartes se pueden considerar los fundadores de la Geometría Analítica), retomaron el problema llegando a su casi total estudio, haciendo siempre la salvedad de que no manejaban coordenadas negativas, con las restricciones que esto impone. La contribución de cada uno reside esencialmente en el reconocimiento de que una ecuación dada con dos incógnitas puede considerarse como la determinación de una curva plana con respecto a un sistema de coordenadas. El estudio analítico de Descartes ofrece un aspecto puramente algebraico y se sirve de las ecuaciones de las cónicas para deducir propiedades referentes a las curvas y a su construcción geométrica. Por otro lado, Fermat deduce las ecuaciones de la recta, la circunferencia y todas las secciones cónicas.

II. SUPERFICIE CÓNICA

Llamamos superficie cónica de revolución a la superficie engendrada por una línea recta que gira alrededor de un eje manteniendo un punto fijo sobre dicho eje; mientras que denominamos simplemente Cónica a la curva obtenida al cortar esa superficie cónica con un plano. Las diferentes posiciones de dicho plano nos determinan distintas curvas: circunferencia, elipse, hipérbola y parábola.

III. LUGAR GEOMÉTRICO

Se llama lugar geométrico al conjunto de todos los puntos del plano que cumple una propiedad.

Ejemplo de lugar geométrico:

• La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan una distancia r (radio) de un punto fijo llamado centro.

• La mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos del segmento.