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1.1. Ángulos centrales y cuerdas.
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Pasamos ahora a analizar algunos problemas geométricos que se resuelven utilizando ángulos centrales. El primero de ellos sirve como modelo de cómo llevar a cabo una demostración geométrica. Al final se proponen como ejercicios varios problemas geométricos que deben ser resueltos de manera similar usando las propiedades utilizadas hasta el momento.
El primero de ellos es el siguiente: Si dos arcos de circunferencia son iguales, las dos cuerdas que los determinan también lo son.
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Haz que el arco A tenga una amplitud de 75º. Haz lo mismo con el arco B.
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Recordando lo que dijimos en el apartado anterior, ¿cuáles son las medidas de los ángulos centrales correspondientes a ambos arcos?
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¿Qué puedes afirmar de las longitudes de los segmentos CA1, CA2, CB1 y CB2? ¿Por qué?
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Considera los triángulos CA1A2 y CB1B2. Contesta a las siguientes cuestiones: ¿Cómo son entre sí los ángulos del vértice C de estos dos triángulos? ¿Cómo son entre sí los lados CA1 y CB1? ¿Por qué? ¿Cómo son entre sí los lados CA2 y CB2? ¿Por qué?
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¿Qué puedes afirmar ahora de los triángulos anteriores a partir de las respuestas obtenidas? ¿Cuál es la conclusión final a la que queríamos llegar?
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Para cambiar el valor de la amplitud de los arcos puedes pulsar con el ratón sobre los respctivos controles, pero es más rápido y cómodo escribir directamente en la casilla correspondiente el valor deseado y pulsar la tecla Intro.
Para terminar la actividad puedes arrastrar con el ratón el control B1 hasta hacerlo coincidir con el control A1 y comprobar así que las dos cuerdas son iguales.
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La recíproca de la anterior afirmación también es cierta: Si dos cuerdas de una misma circunferencia son iguales, los arcos que determinan también lo son.
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Haz que las dos cuerdas tengan la misma longitud.
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Una vez conseguido, ¿qué puedes afirmar de las parejas de segmentos (A1A2,B1B2), (CA1,CB1), (CA2,CB2)?
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Según lo anterior, ¿qué puedes afirmar de los triángulos CA1A2 y CB1B2?
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Por lo tanto, ¿qué puedes decir de los ángulos de cada uno de estos triángulos cuyo vértice está en C?
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¿Qué se deduce de lo anterior sobre los arcos A1A2 y B1B2?
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Para cambiar el valor de la longitud de las cuerdas tienes que con el ratón sobre los respctivos controles.
Para terminar la actividad puedes arrastrar con el ratón el control B1 hasta hacerlo coincidir con el control A1 y comprobar así que los dos arcos son iguales.
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Cuestiones y ejercicios.
Basándote en las propiedades enunciadas y demostradas hasta ahora intenta demostrar los siguientes teoremas, realizando razonamientos parecidos a los anteriores:
- La mediatriz de una cuerda cualquiera de una circunferencia es un diámetro de la misma.
- Recíprocamente, si un diámetro corta perpendicularmente a una cuerda, entonces es la mediatriz de la misma (por tanto la corta en su punto medio).
- Si dos cuerdas tienen la misma longitud, equidistan del centro de la circunferencia.
- Recíprocamente, si dos cuerdas equidistan del centro de la circunferencia, entonces tienen la misma longitud.
- Si dos cuerdas tienen longitudes diferentes, entonces la menor es la que más dista del centro.
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