TEOREMA DE ROLLE

1. Observa que la función f(x) de la figura cumple las siguientes condiciones en el intervalo:

• f(x) es continua en [0.5, 4.5]

• f(x) es derivable en (0.5, 4.5)

• f(0.5)=f(4.5)

2. Observa cuánto vale la derivada de f(x) en cada punto (para ello modifica el valor de la abscisa a del punto)

3. Observa que hay puntos (en general al menos uno) en los que la recta tangente a la gráfica es paralela al eje de las x y por tanto la derivada en ellos es nula.

4. Halla dichos puntos y comprueba el resultado analíticamente sabiendo que f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4).

5. Observa que entre 2 raíces consecutivas de la ecuación f(x)=0 existe al menos una de la ecuación f '(x)=0 y que entre 2 raíces consecutivas de la ecuación f '(x)=0 existe como máximo una raíz de la ecuación f(x)=0.

TEOREMA DE LAGRANGE

1. Observa que la función de la figura cumple las siguientes condiciones:

• es continua en [1, 6]

• es derivable en (1, 6)

2. Observa cómo es la recta en cada punto del intervalo [1, 6] (para ello modifica el valor de la abscisa a de cada punto)

3. Observa que hay un punto en el que la tangente es paralela a la recta que pasa por A(1, f(1)) y por B(6, f(6))

4. Comprueba que en dicho punto el valor de la derivada coincide con la pendiente de la recta que pasa por A y por B.

TEOREMA DE CAUCHY

1.Observa que las funciones f(x) y h(x) de la figura son continuas en el intervalo [1, e] y derivables en (1, e).

2. Obtén las tangentes a las gráficas de f(x) y de h(x) en distintos puntos del intervalo y observa cuánto vale el cociente de las pendientes de dichas tangentes.

3. Encuentra el valor de la abscisa a en donde el cociente de las pendientes de las rectas tangentes coincide con (f(e)-f(1))/(h(e)-h(1)).

Jesús Ángel Sánchez García