CÁLCULO DIFERENCIAL: Teorema de Rolle y Teorema
del Valor medio
1.- CONCEPTOS
PREVIOS
§
La derivada
de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la función en
ese punto.
§
La ecuación de la recta tangente a una función en el punto A( a , f ( a ) ) viene dada por la expresión:
y – f ( a ) = f ’ ( a ) [ x – a ]
§
Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente.
§
Si en un punto de la gráfica de una función se
produce un cambio brusco de dirección ( “un pico” o “punto anguloso”), la
función no es derivable en dicho punto.
2.- TEOREMA
DE ROLLE
Si f es una función continua en [ a , b ], derivable en ( a , b ) y
además f ( a ) = f ( b ), entonces
existe al menos un punto c
Î ( a , b ) en el que f ’ ( c ) = 0.
2.1 Interpretación
geométrica
Si se cumplen las hipótesis del teorema, existe al menos un punto c Î ( a , b ) en el que su recta
tangente es paralela al eje de abscisas (es decir, es la recta y = f ( c )
).
2.2 Actividades:
a) Dibuja en tu cuaderno un esbozo de la gráfica de la función f ( x ) = x7 – 3x6 + 2 sen (px / 2) en el intervalo [ 0 ,
1 ] . (Con la ayuda de una calculadora calcula las imágenes de los puntos: 0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4,..., 0.9, y 1).
b) ¿Verifica la función f ( x
) las hipótesis del Teorema
de Rolle en el intervalo [ 0 , 1
]? En caso afirmativo, calcula,
aproximando hasta las centésimas, el valor del punto “c” cuya
existencia garantiza dicho teorema. (Ayuda: con la ayuda de una tabla de
valores, representa la función derivada de f ( x ) en dicho intervalo. ¿En qué
valor f ’ ( x ) = 0?)
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3.- TEOREMA
DEL VALOR MEDIO ( TEOREMA DE LAGRANGE)
Si f es una función continua en [ a , b ] y derivable en ( a , b ), entonces existe al menos un punto cÎ(a,b) en el que f ’ (c) = [ f ( b ) – f ( a ) ] / ( b –
a ).
3.1 Interpretación
geométrica
Si se cumplen las hipótesis del teorema, existe al menos un punto c
Î ( a , b ) en el que su recta
tangente es paralela al segmento determinado por los puntos A( a , f ( a ) ) y
B( b , f ( b ) )
3.2 Actividades:
a) Representa en tu cuaderno la gráfica
de la función f ( x ) = x3 – x2 + 2 en el
intervalo [ -1 , 1 ] .
b) ¿Verifica la función f ( x
) el teorema del Valor Medio del
cálculo diferencial en dicho intervalo. En caso afirmativo, calcula, aproximando
hasta las centésimas, el valor del punto
“c” cuya existencia
garantiza dicho teorema.
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4.- TEOREMA
DEL VALOR MEDIO GENERALIZADO (TEOREMA DE CAUCHY)
Si f y g son dos funciones continuas en [ a , b ] y derivables
en ( a , b ), entonces existe al menos un punto c
Î ( a , b ) en el que se
verifica: f ’ ( c ) [ g ( b
) – g ( a ) ] = g ’ ( c ) [ f ( b ) – f ( a ) ].
Es inmediato
comprobar que el teorema del valor medio es un caso particular del teorema del
valor medio generalizado. Para ello, basta tomar la función g ( x ) = x.
4.1 Actividades:
a)
Dibuja en tu cuaderno las
gráficas de las funciones
f ( x ) = sen ( x )
y g ( x ) = cos
( x ) en el intervalo
[ 0 , p ].
b)
¿Verifican dichas funciones las hipótesis del teorema del Valor Medio
generalizado en ese intervalo? En caso afirmativo, calcula, aproximando hasta
las milésimas, el valor del punto “c”, cuya existencia garantiza el citado
teorema.
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