Resolución de triángulos. Teoremas

TEOREMA DEL SENO

En un triángulo cualquiera se cumple siempre que:

Tenemos tres igualdades que nos relacionan los seis datos de un triángulo y que nos van a ayudar a resolverlos.

Sitúate con el ratón sobre los vértices del triángulo, pínchalos y muévelos. Observa cómo varían los valores de los cocientes dando el mismo resultado. Comprueba en tu cuaderno y con ayuda de la calculadora que esto es cierto para los triángulos que te van apareciendo en la pantalla.

Si quieres ver la demostración del teorema pulsa aquí

Con esto ya estamos en condiciones de empezar a resolver problemas de al menos 2 tipos:

1a. Resolución de un triángulo del que se conocen dos ángulos y el lado que los une.
Si de un triángulo conocemos A=30º, B=100º y c=5 cm calcular el resto de los elementos. Intenta poner en la escena estos datos, quizá tengas que cambiar la escala. Observa en la escena los datos que tienes y los que te faltan.

Intenta resolverlo en tu cuaderno y comprueba las soluciones pulsando aquí

Modificar en la escena los valores de A, B y c, para ver el planteamiento de los posibles problemas que encontrarás en EJERCICIOS

1b. Resolución de triángulos en los que conocemos dos ángulos y un lado que no sea el que une estos ángulos. En realidad es el mismo caso de antes, pues si conoces dos ángulos conoces el tercero.

Resolver en tu cuaderno, por ejemplo, el triángulo A=80º, C=30º y c=8 m. (Puedes ver la solución aquí)
Modificar en la escena los valores de A, B y c, para ver el planteamiento de los posibles problemas, que encontrarás en EJERCICIOS

2. Resolución de triángulos conocidos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. Es el caso que más problemas plantea, pues podemos encontrarnos casos en los que tengamos una solución, dos soluciones o ninguna:

Observa la escena. Puedes mover el lado b variando el valor de A (parte inferior de la escena). Con esa longitud de b no obtienes un triángulo, luego el problema no tendría solución, pero si prolongas lo suficiente la longitud de b, puedes tener una solución o incluso dos con el mismo valor de b.
Modifica ahora el ángulo B para que sea obtuso. En este caso por mucho que modifiques la longitud de b sólo obtienes una solución.
Ahora intenta demostrar esto en tu cuaderno utilizando el teorema del seno (recuerda que A+B+C=180º y que el seno nunca puede ser mayor que 1 o menor que -1).
Resuelve el triángulo del que conocemos b=7.7 cm., c=8.7 cm. y B=52º. Modifica la escena hasta que aparezcan esos datos, mueve luego el lado b y apunta en tu cuaderno lo que observas.(Puedes ver la solución aquí)

Pero aún podemos ir más lejos y preguntarnos a qué es igual el cociente del teorema de los senos Pues bien se cumple que:

donde R es el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo

Mueve el vértice C y observa cómo son todos los triángulos que se van formando, compara el triángulo ABC con el ABD. Observa que en este triángulo el ángulo B=90º, es un triángulo rectángulo y sen90º=1 ¿serías capaz de demostrar la fórmula con estos datos?. Inténtalo y luego puedes verla aquí. También puedes mover los otros vértices A y B y obtendrás el triángulo que desees.

Teorema del coseno

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Autor: José Ángel López Mateos.

I.E.S.Dámaso Alonso

DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DEL SENO

wpe67.jpg (3299 bytes)

Como ya sabes por la definición de las razones trigonométricas:

h=b·senA, y h=a·senB

luego b·senA=a·senB, de donde se obtiene una de las igualdades del teorema del seno:

La otra se obtiene igual considerando otra de las alturas del triángulo.

Si el triángulo es obtusángulo se demuestra igual:

wpe68.jpg (4992 bytes)

Se demuestra igual pues h=a·sen (B-180º), pero sen (B-180º)=sen B

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Demostración:

El teorema del seno se cumple tanto para el triángulo negro ABC, como para el rojo ABD. En este último observa que el lado opuesto a B es el diámetro de la circunferencia, luego 2R, por tanto tenemos:

y como sen90º=1 , por otro lado observa que D=C, luego sen D=sen C, de donde se obtiene la fórmula: