"Sean f una función con límite infinito en el punto a y g(x) una función con límite finito no nulo en el mismo punto a (llamaremos b a este límite, con b distinto de cero). Entonces la función f/g tiene límite infinito en el punto a si b es positivo, límite menos infinito si b es negativo".

Es decir

Las características de la gráfica son las siguientes: Las funciones de color amarillo son f y g. La función de color turquesa es su cociente. La línea verde horizontal representa una cota, K, que la función f/g debe superar o no rebasar (según que b sea positivo o negativo respectivamente) cuando x está cerca del punto a. La línea roja horizontal representa una cota superior, m, de la función g(x) en las cercanías del punto a. La línea gris horizontal representa la cota mK que la función f debe superar cerca del punto a. Las líneas azules verticales representan un entorno de radio d alrededor del punto a. El parámetro p permite que podamos hacer que la función g(x) se desplace verticalmente, con lo que b puede tomar el valor que queramos.

1.- Modifica el valor de p hasta conseguir que b sea positivo. Una vez hecho esto halla un valor de m que sea una cota superior de g(x) en las cercanías del punto a. ¿Es siempre posible encontrar un tal valor m? ¿Por qué? Halla a continuación un valor d para el que se cumpla que si x dista de a menos que d, con toda seguridad g(x) es menor que el valor m anterior. Anota el valor de d obtenido.

2.- Selecciona ahora un valor de K positivo tan grande como quieras. Averigua para qué valor de d se cumple que si x dista de a menos que d con toda seguridad f(x) es mayor que mK, siendo m el valor obtenido en el apartado anterior. Anota el valor obtenido. ¿Es siempre posible encontrar un valor d que cumpla esta condición? ¿Por qué?

3.- Haz ahora que d tome el valor más pequeño de los dos que has obtenido y contesta a la siguiente cuestión. Si x está dentro del intervalo limitado por las rectas verticales azules f(x) es mayor que mK y 1/g(x) es mayor que 1/m (¿por qué?) ¿qué puede afirmarse de (f*g)(x) y K?

4.- Repite los pasos anteriores dando distintos valores a K, cada vez mayores.

5.- Modifica ahora el valor de p hasta conseguir que b sea negativo. Una vez hecho esto halla un valor de m que sea negativo y al mismo tiempo una cota superior de g(x) en las cercanías del punto a. ¿Es siempre posible encontrar un tal valor m, con tal de que b sea negativo? ¿Por qué? Halla a continuación un valor d para el que se cumpla que si x dista de a menos que d, con toda seguridad g(x) es menor que el valor m anterior. Anota el valor de d obtenido.

6.- Selecciona ahora un valor de K negativo tan pequeño como quieras. Averigua para qué valor de d se cumple que si x dista de a menos que d con toda seguridad f(x) es mayor que mK, siendo m el valor obtenido en el apartado anterior (observa que al ser tanto K como m negativos, el producto mK será positivo). Anota el valor obtenido. ¿Es siempre posible encontrar un valor d que cumpla esta condición? ¿Por qué?

7.- Haz ahora que d tome el valor más pequeño de los dos que has obtenido y contesta a la siguiente cuestión. Si x está dentro del intervalo limitado por las rectas verticales azules f(x) es mayor que mK y 1/g(x) es mayor que 1/m (¿por qué?) ¿qué puede afirmarse de (f/g)(x) y K?

8.- Repite los pasos anteriores dando distintos valores a K, cada vez menores.

Si has contestado satisfactoriamente a las preguntas anteriores habrás obtenido que sea cual sea el valor de K (K positivo si b es positivo y K negativo si b es negativo) es posible encontrar otro número positivo d tal que si la distancia entre x y a es menor que d, entonces g(x) es menor que una cierta constante positiva m si b es mayor que cero; g(x) es menor que una cierta constante negativa m si b es menor que cero y, en ambos casos, f(x) es mayor que mK y 1/g(x) es mayor que 1/m, por lo tanto para esos valores de x (f/g)(x) será mayor que K si b es positivo y menor que K si b es negativo.

En otras palabras, el límite de f/g cuando x tiende al punto a es infinito si b es mayor que cero y menos infinito si b es menor que cero.

"Sean f y g dos funciones: f con límite finito en el punto a (al que llamaremos b) y g con límite infinito en a. Entonces la función f/g tiene límite cero en a".

Es decir

Las características de la gráfica son las siguientes: Las funciones de color amarillo son f y g. La función de color turquesa es su cociente. Las líneas verdes horizontales representan un entorno de cero de radio e, en el que queremos que esté la función f/g cuando x está cerca del punto a. Las líneas grises horizontales representan las cotas K y -K que la función f no debe superar cerca del punto a. La línea roja horizontal representa una cota inferior, K/e, de la función g(x) en las cercanías del punto a. Las líneas azules verticales representan un entorno de radio d alrededor del punto a. El parámetro p permite que podamos hacer que la función g(x) se desplace verticalmente, con lo que b puede tomar el valor que queramos.

1.- Modifica el valor de p hasta conseguir que b sea positivo. Una vez hecho esto halla un valor de K que sea una cota superior de f(x) (y -K una cota inferior) en las cercanías del punto a. ¿Es siempre posible encontrar un tal valor K? ¿Por qué? Halla a continuación un valor d para el que se cumpla que si x dista de a menos que d, con toda seguridad |f(x)| es menor que el valor K anterior. Anota el valor de d obtenido.

2.- Selecciona ahora un valor de e positivo tan pequeño como quieras. Averigua para qué valor de d se cumple que si x dista de a menos que d con toda seguridad g(x) es mayor que K/e, siendo K el valor obtenido en el apartado anterior. Anota el valor obtenido. ¿Es siempre posible encontrar un valor d que cumpla esta condición? ¿Por qué?

3.- Haz ahora que d tome el valor más pequeño de los dos que has obtenido y contesta a la siguiente cuestión. Si x está dentro del intervalo limitado por las rectas verticales azules |f(x)| es menor que K y 1/g(x) es menor que e/K (¿por qué?) ¿qué puede afirmarse de (f/g)(x) y e ?

4.- Repite los pasos anteriores dando distintos valores a e . Repite, después todo el proceso haciendo b=0 y haciendo b negativo.

Ejercicios.

¿Qué sucederá en el primer caso si f tiende a menos infinito? ¿Y en el segundo caso? Razona las respuestas.