RAMAS INFINITAS
Análisis
 
1. RAMAS INFINITAS CUANDO  x® +¥ ó x® -¥

Cuando hacemos tender x a infinito (nos alejamos indefinidamente por el eje de abcisas a la derecha o la izquierda) la función puede tener distintos comportamientos: aproximarse cada vez más a una dirección (asíntota) ó parecerse a una rama de parábola, sin tender a una dirección como límite (rama parabólica).

En las figuras de la izquierda se muestran algunos casos.

Vamos a estudiar estos comportamientos.

Asíntota horizontal

Asíntota oblicua

Ramas parabólicas

Ramas parabólicas

 

Observar con Descartes

El siguiente programa permite comprobar las propiedades asintóticas que presentan las 2 funciones de los ejemplos anteriores y además permite editar una función f(x) cualquiera y hasta dos asíntotas posibles de la misma (si fuera el caso) y=a_1(x)=mx+n e y=a_2(x)=m'x+n'. Esta última posibilidad será útil para verificar los resultados de los ejercicios que se proponen y que el/la estudiante deberá resolver analíticamente. 

Las funciones ejemplo se activan poniendo la entrada función a 1 o 2.

Para editar otras funciones poner función a 0 y sobrescribir las entradas f(x) y a_1(x) ó a_2(x) (no borrar y=) por las expresiones admitidas por Descartes correspondientes a la función del ejercicio y su(s) asíntotas.

Para visualizar correctamente los ejemplos hacer:

Caso función=1:

Rama izquierda: Escala=32, Ox=160, Oy=128

Rama derecha: Escala=56, Ox=-288, Oy=192

Caso función=2:

Rama izquierda Escala=24, Ox=128, Oy=-32

Rama derecha: Escala=24, Ox=-224, Oy=320.

Para comprobar la tendencia de la función, aumentar o disminuir el valor de la variable x.

a) Asíntota horizontal:

Si ó entonces la curva f(x) se aproxima a la recta y=l. Esta recta se dice que es una asíntota horizontal.

Para saber si la aproximación a la asíntota es por arriba o por debajo, se estudia el signo que tiene f(x)-l cuando x®+ ¥ ó x®- ¥

 

Ejemplo: 

 

La función f(x)=(3x2-5x+1)/(x2-x-2) tiene por límite en el infinito el valor 3; y=3 es una asíntota horizontal.

Para ver por donde se aproxima calculamos  f(x)-3=(-2x+7)/(x2-x-2) que es negativa si x®+ ¥ y positiva si x®- ¥ : se aproxima por debajo, (f(x)-3)<0, cuando  x®+ ¥ y se aproxima por arriba, (f(x)-3)>0, cuando x®- ¥ .

 

b) Asíntota oblicua

 

Una función presenta una asíntota oblicua, y=mx+n, cuando x®+ ¥ si se dan las siguientes condiciones:

 la diferencia entre la ordenada de la curva f(x) y la ordenada de la asíntota mx+n,  tiende a cero cuando x® ¥ por ello f(x)-mx tiende a n y  f(x)/x tiende a m. ¡¡Hágase  el cálculo!!

La posición de la curva respecto de la asíntota se obtiene calculando el signo de f(x)-(mx+n) cuando x® ¥

Todo lo dicho tiene la misma validez si x®- ¥ .

Cuando la función es racional irreducible f(x)=P(x)/Q(x) y el grado del polinomio P(x) es una unidad mayor que el de Q(x), tenemos seguridad de que tiene una asíntota oblicua.

La demostración es sencilla: P(x)/Q(x) tiene un cociente de primer grado (lineal), pongamos mx+n y un resto R(x) de grado menor que Q(x), por lo que

 P(x)/Q(x)=mx+n +R(x)/Q(x)

al tender x a infinito, R(x)/Q(x) tiende a cero y por tanto P(x)/Q(x) se aproxima a mx+n; es decir y=mx+n es una asíntota oblicua de f(x) tanto si x® ¥ como si x®- ¥ .

Ejemplo:

 Calcular la asíntota oblicua de (x2+3x+1)/(x-1).

haciendo la división se obtiene (x+4) + 5/(x+2); por tanto y=x+4 es la asíntota pedida.

Comprobar las tres condiciones para tener asíntota oblicua cuando x® ± ¥

a) lim f(x)= lim (x2+3x+1)/(x-1) = ± ¥,

b) lim f(x)/x = lim (x2+3x+1)/(x2-x)=1¹0; m=1

c) lim (f(x)-mx)=lim (x2+3x+1)/(x-1) - x = 4; n=4

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Función

 Se edita para Descartes... Solución

1

(x^2-x-1)/(x^2+x+1)

Solución analítica

2 sqrt(x^2+1)/x

Solución analítica
3 x^3/(1+x)^2

Solución analítica
4 sqrt(x^2+2*x)

Solución analítica
5 x-sqrt(x^2-1)

Solución analítica
c) Ramas parabólicas

Si    y  , entonces tenemos una rama parabólica del tipo siguiente:

Ejemplos: f(x)=x2, f(x)=ex, f(x)=ex/x3

 

Si  y  ,  entonces tenemos una rama parabólica del tipo siguiente:

Ejemplos: f(x)=Ö x, f(x)=ln(x)
2. RAMAS INFINITAS CUANDO x ® a

Asíntotas verticales.

Si  entonces x=a es una asíntota vertical.

Si admitimos que está definida a ambos lados de la asíntota, pudiera ocurrir alguno de los cuatro casos siguientes:

Para saber a que caso corresponde tenemos que calcular los límites por la derecha y por la izquierda de a.

Criterio práctico: Si tenemos una función racional, de la forma f(x)= P(x)/Q(x), las asíntotas verticales se encuentran en los valores de x tales que Q(x)=0 y P(x)¹0.

  • Si x=a es una raíz simple de Q(x), las ramas laterales se aproximan a la asíntota  en sentidos opuestos (casos 2 y 3): un límite lateral es +¥ y el otro -¥

  • Si x=a es una raíz doble de Q(x), ambas ramas laterales se aproximan a la asíntota  en el mismo sentido (casos 1 y 4): ambos límites son o bien +¥ o bien -¥.

Para pensar:

Aplicar los conocimientos adquiridos en esta página para identificar  cada función con las mostradas en las siguientes escenas:

1:  f(x)=0,2x3-x2 2: f(x)=(x2-5)/x
3: f(x)=x3/(2x-4)2 4: f(x)=(2x2-1)/x2
5: f(x)=ln(x2+1) 6: f(x)=?

Si el número de función seleccionado es la solución, el fondo circular de la letra correspondiente a la escena cambia al color amarillo.
 

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Ejercicio 6: Una vez descubierta la función 6, describe todas las características que presenta, de las comentadas hasta este momento en la presente unidad didáctica, utilizando el vocabulario correcto y haz una propuesta razonable de la expresión que debe tener la función. 
       
           
  Ángel Cabezudo Bueno
 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2001
 
 

 

Soluciones:

1:

Asíntota horizontal: el límite para x® ±¥ es 1, por tanto y=1 es una A.H.

Veamos la posición de la curva respecto de la asíntota, valorando el signo de f(x)-1=-2(x+1)/(x2+x+1)

límite signo posición
x® +¥ - por debajo
f(x)-1
x® -¥ + por arriba

es negativo para x® +¥ y es positivo para x® -¥  por tanto f(x) tiende a 1 por encima para x® -¥  y tiende a 1 por debajo para  x® +¥

Asíntota oblicua: no tiene

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2:

Asíntota horizontal: el límite para x® ±¥ es 1. Por tanto y= 1 es una A.H.

Para ver la posición de f(x) respecto de la asíntota calculamos

limite

signo

posición
x® +¥ + por arriba
f(x)-1
x® -¥ - por abajo

Asíntota vertical: no tiene

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3:

Asíntota oblicua: por ser el grado del numerador una unidad superior al del denominador tendrá asíntota oblicua y=mx+n

La pendiente m de la asíntota es el límite para  x ® ¥ de f(x)/x = x2/(1+x2). Como el límite es 1, la pendiente es m=1.

El parámetro n es el límite para x ® ¥ de f(x) - mx=x3/(1+x2)-x=-x/(1+x2). Por tanto n=0.

La asíntota es y=x

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4:

Asíntota oblicua: el límite para x®+ ¥ ó x®- ¥ de f(x)  +¥ .

Por la derecha:

f(x) tiene una asíntota por la derecha y=x+1

Por la izquierda:

f(x) tiene una asíntota por la izquierda y=-x-1

Ahora veamos la posición de f(x) respecto de la asíntota

Por la derecha:

y para x arbitrariamente grande y positivo, la expresión es negativa: f(x) se aproxima por debajo

Por la izquierda:

como tratamos de evaluar para x arbitrariamente grande y negativo, equivale a evaluar cambiando x por -x para x arbitrariamente y positivo

la expresión es negativa: f(x) se aproxima por debajo

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5:

Por la derecha:

el límite de f(x) cuando x® +¥ es 0. Para  comprobarlo, multiplicar y dividir por la expresión conjugada, como hemos hecho en los ejercicios anteriores para calcular límites con radicales que presentan una indeterminación inicial del tipo ( ¥-¥)

La función f(x) tiene una asíntota horizontal y=0

Por la izquierda:

el límite de f(x) para x® -¥ equivale al límite de f(-x) para x® +¥. Este límite es -¥ por lo que es posible que encontremos asíntota oblicua por la izquierda:

La función f(x) tiene una asíntota oblicua y=2x

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6: f(x)=x/(x2-4)

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