La siguiente escena nos permite comprobarlo. Para ello asigna distintos valores al parámetro x0 (abscisa de los puntos de la hipérbola) o haz clic en el botón animar y observa que los lados del triángulo varían pero el área permanece constante.

2.- Demuestra que las tangentes trazadas a la hipérbola x·y=8 por dos puntos cualesquiera de ella que sean simétricos respecto al origen de coordenadas son paralelas. Basta con que analices la expresión de la pendiente de la tangente obtenida anteriormente y la apliques a dos puntos simétricos. Comprueba en la escena que la tangente forma el mismo ángulo con el eje OX en puntos de abscisas opuestas. 

La presente escena nos facilita la visualización del lugar geométrico que buscamos. Para ello pulsa con el ratón sobre la flecha incrementadora del ángulo t (expresado en radianes) hasta dar una vuelta completa o haz clic en el botón animar. Simultáneamente has de observar en los textos que PM es igual a PF y por lo tanto P verifica las condiciones del lugar e identificarás éste observando los valores de las expresiones que constituyen la definición bifocal de las cónicas con centro, es decir, PF+PF´=cte. y |PF-PF´|=cte. Cada vez que cambies los valores de los parámetros de la escena debes de actualizarla haciendo clic sobre el botón LIMPIAR.

Comprueba que la ecuación cartesiana obtenida se corresponde con los datos de la cónica de la escena.

3.- Pulsa el botón inicio, escribe con el teclado el valor 2.50 en la casilla de Fx,  haz clic en el botón limpiar y observa el resultado.

4.- Pulsa el botón inicio, escribe con el teclado el valor 1.50 en la casilla de Fx,  haz clic en el botón limpiar y observa el resultado.

(*) Si entendemos por distancia de un punto a una circunferencia la distancia mínima obtenemos sólo una rama de la hipérbola. Para obtener las dos ramas deberíamos de reformular la cuestión y decir, por ejemplo: 
Dada una circunferencia de centro F´ y un punto F exterior a ella, hallar el lugar geométrico de los puntos P del plano cuya mínima o máxima distancia a la circunferencia coincide con su distancia al punto F.
No obstante lo anterior, en lo que se refiere a esta práctica y a efectos de no complicar innecesariamente los ejercicios, no hay ningún problema en entender la distancia tal y como se hace en el apartado 1). 

La escena que sigue nos permite comprobar la afirmación anterior. Para ello arrastra el punto de control P con el ratón y observa los valores que toman los textos: PF/PR vale e y |PF-PF´|=cte.

1.- Demostrar analíticamente la proposición del enunciado tomando como datos los valores (a=4 ; e=1.25). Halla directamente la ecuación cartesiana de la hipérbola de la escena para los citados valores y comprueba que coincide con la ecuación del lugar geométrico que has hallado.

2.- Da a a el valor 5 y a e el valor 0.8 y arrastra el punto P hasta dar una vuelta completa. ¿Qué observas?. 

La siguiente escena nos dibuja la gráfica de la elipse solución y calcula su ecuación. Para la resolución del problema considera una hipérbola de la forma x²/a²-y²/b²=1, haz que los puntos P y Q la verifiquen , resuelve el sistema resultante en a² y b² y sustituye estos valores en la ecuación.

Si asignas el valor 1 al control ayuda puedes observar las zonas de existencia de solución o soluciones. Dado un punto P, la región de color azul asociada a él indica dónde ha de estar Q para que exista/n solución/es que puede/n verse haciendo 0 el valor del control ayuda.

Varía los valores de los controles numéricos de la escena y observa el resultado. 

1.-  Resuelve analíticamente la práctica anterior utilizando los puntos P (8 , 3Ö3) y Q(12 , 6Ö2) y comprueba que el resultado coincide con el de la escena (puedes introducir las aproximaciones decimales 5.2 de 3Ö3 y 8.49 de 6Ö2) .

2.- Introduce los puntos P(-8,-2) y Q(5,7), haz clic sobre el botón limpiar y observa lo que pasa. Elige un par de puntos del segundo cuadrante con coordenadas enteras para los que no exista hipérbola que los contenga. 

3) ¿Qué ocurre si intentamos resolver el problema para los valores  xp=6, yp=4, xq=-6, yq=-4?. ¿Por qué puntos más pasan las hipérbolas obtenidas y qué tienen todos ellos en común?.