Luisa quiere saber cuántos bisabuelos y tatarabuelos ha tenido. Para contarlos dibuja en su cuaderno su árbol genealógico:

Ella tiene 2 padres (un padre y una madre).

Cada uno de ellos tiene 2 padres. Por tanto, ella tiene 2*2 = 4 abuelos.

Cada abuelo tiene a su vez 2 padres, luego ella tiene 2*2*2 = 8 bisabuelos.

Cada bisabuelo tiene a su vez 2 padres; ella tiene 2*2*2*2 = 16 tatarabuelos.

	Operación	Resultado
Padres	2 = 21	2
Abuelos	2*2 = 22	4
Bisabuelos	2*2*2 = 23	8
Tatarabuelos	2*2*2*2 = 24	16

En muchas situaciones hay que multiplicar un número por sí mismo varias veces. Para abreviar, en lugar de escribir 2*2*2*2 escribimos 2⁴ y lo llamaremos potencia.

2⁴ se lee "2 elevado a 4" o también "2 elevado a la cuarta".

5² se lee "5 elevado a 2" o también "5 elevado al cuadrado", que es más habitual.

Una potencia es el resultado de multiplicar un número por sí mismo varias veces. El número que multiplicamos se llama base, el número de veces que multiplicamos la base se llama exponente.

En la potencia 2⁴, la base es 2 y el exponente es 4.

1. Calcula las siguientes potencias: 3⁵,  5³,   7²,  2⁷,  10⁴,  4¹⁰. En cada caso escribe cuál es la base y cuál es el exponente.

Comprueba tus resultados en la siguiente escena.

2. Utiliza la escena anterior para calcular las siguientes potencias:

• 0²,  0⁵,  0⁷,  0¹⁰
• 1⁵,  1⁸,  1²,  1¹⁰
• 3¹,  5¹,  9¹,  10¹
• 2⁰,  3⁰,  8⁰,  10⁰
• 10¹,  10²,  10³,  10⁴,   10⁵,  10⁶

Escribe en tu cuaderno cinco conclusiones que deduces de los resultados de cada uno de los apartados anteriores.

Las potencias de exponente 2 se llaman cuadrados perfectos. Los utilizaremos mucho en la clase de matemáticas a partir de ahora.

3. Calcula los cuadrados de los primeros 15 números naturales y completa la siguiente tabla en tu cuaderno.

Número	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Cuadrado

Comprueba tus resultados en la siguiente escena.

Cambia el valor de la base para comprobar los resultados.

Como sabes, el área de un cuadrado de lado l mide l². Por tanto, geométricamente, calcular el cuadrado de un número equivale a calcular el área de un cuadrado cuyo lado mida el número dado.

4. En la escena siguiente asígnale a la variable lado los diez primeros números naturales y cuenta, en cada caso, el número de cuadraditos que contiene el cuadrado correspondiente.

Igual que en el caso de los cuadrados, las potencias de exponente 3 se llaman cubos perfectos.

5. Calcula los cubos de los primeros 15 números naturales y completa la siguiente tabla en tu cuaderno.

Número	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Cubo

Calcula la solución en tu cuaderno y compruébalo en la escena siguiente.

Si n es un número natural se define

a^-n = 1 / aⁿ

7. Calcula las siguientes potencias y comprueba los resultados en la escena siguiente.

1. 3^-5
2. 5^-3
3. 7^-2
4. 2^-7
5. 5^-4
6. 4^-5

Si obtienes resultados un poco "extraños" prueba a aumentar el número de decimales del resultado en el control de la parte de arriba.

Calcula las potencias (-5)³ y (-5)⁴.

(-5)³ = (-5)*(-5)*(-5) = -125. El resultado es negativo.

(-5)⁴ = (-5)*(-5)*(-5)*(-5) = 625. El resultado es positivo.

En general, al elevar un número negativo a un exponente par el resultado es siempre positivo. Al elevarlo a un exponente impar, el resultado es siempre negativo.

8. Calcula las siguientes potencias y comprueba los resultados en la escena siguiente.

1. (-3)⁵
2. (-3)⁶
3. (-4)⁴
4. (-4)⁵
5. (-10)⁵
6. (-13)⁹