Potencias: exponentes fraccionarios. | |
Álgebra | |
Raíz de un número. | |
Sabemos que 72 = 49.
Esta igualdad la podemos expresar también como
y se lee 7 es igual a la raíz
cuadrada de 49. En general, se define la raíz cuadrada de un
número a como otro número b tal que b2 = a.
Igualmente, se
define raíz n-sima de un número a al número b tal que bn
= a
Y escribimos:
El número a se llama radicando y
el número n, índice.
Por ejemplo,
Es importante precisar que no
todos los números poseen raíces. Las raíz cuadrada de -4 no
existe, pues el cuadrado de cualquier número, sea positivo o
negativo, siempre es positivo. Por la misma razón no existe la
raíz cuadrada de ningún número negativo ni la raíz de índice
par de ningún número negativo
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15. Recordando la lista de los
cuadrados y de los cubos perfectos, calcula las siguientes
raíces:
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Comprueba tus resultados en la siguiente escena. |
Potencias de exponente fraccionario. | |
Fijándonos en el primer ejemplo
anterior es razonable definir:
porque, recordando la regla de
calcular la potencia de otra potencia:
(81/3)3
= 81/3 * 3 = 81 = 8
En general, se define
ya que
(a1/n)n
= a1/n * n = a1 = a
De forma similar se define:
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16. Escribe las siguientes
potencias de exponente fraccionario en forma de raíces. Calcula
el valor de la potencia. Utiliza la siguiente escena para
comprobar su resultado. Aumenta el número de decimales cuando
sea necesario.
a)
163/4 b) 272/3
c) 1254/3
d) 645/6
e) 100-3/2 f) 8-2/3
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Comprueba tus resultados en la siguiente escena. |
Propiedades de las potencias de exponente fraccionario. | |
Las potencias de
exponente fraccionario verifican las mismas propiedades que las
potencias de exponente entero. Repasémoslas una a una:
Producto
de potencias de la misma base.
El producto de dos
potencias de la misma base es otra potencia de la misma base cuyo
exponente es la suma de los exponentes de los factores
am
* an
= am+n
La regla anterior es cierta
cualquiera que sea la base y los exponentes m y n, tanto si son
positivos como negativos, enteros o fraccionarios.
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17. Escribe en tu cuaderno los
siguientes productos en forma de potencia:
a) 23/5 * 27/2
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Comprueba tus resultados en la siguiente escena. | |
Cociente
de potencias de la misma base.
De manera similar al producto, puedes deducir
la siguiente regla general que es válida tanto para exponentes
positivos como negativos:
El cociente de dos
potencias de la misma base es otra potencia de la misma base cuyo
exponente es la diferencia entre el exponente del dividendo y el
del divisor.
am
: an
= am-n
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18. Escribe en tu cuaderno los
siguientes cocientes en forma de potencia:
a) 27/3 : 24/3
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Comprueba tus resultados en la siguiente escena. | |
Potencia de un producto.
La
potencia de un producto es igual al producto de las potencias
(a*b)m
= am * bm | |
19. Expresa en forma de producto
de potencias los siguientes expresiones:
a) (2*5)1/6
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Comprueba tus resultados en la siguiente escena. | |
Potencia de un cociente.
De manera similar al caso de la
potencia de un producto
La
potencia de un cociente es igual al cociente entre la potencia
del dividendo y la del divisor<
(a/b)m
= am / bm | |
20. Expresa en forma de cociente
de potencias los siguientes expresiones:
a) (18/2)5/6
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Comprueba tus resultados en la siguiente escena. | |
Potencia de una potencia.
Una potencia elevada a un
número es igual a otra potencia de la misma base y cuyo
exponente es igual al producto del exponente de la potencia por
el número al que se eleva:
(am)n
= am*n | |
21.Escribe en tu cuaderno las
siguientes potencias en forma de potencia con un solo exponente:
a) (21/3)7
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Comprueba tus resultados en la siguiente escena. | |
22. Básate en las propiedades anteriores para enunciar las propiedades de las raices y las operaciones. |
Fernando Arias Fernández-Pérez | ||
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2001 | ||
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