CÓNICAS

CIRCUNFERENCIA

Potencia de un punto


I.- Definición de potencia de un punto respecto de una circunferencia.

En la siguiente figura se puede observar que los triángulos PB1A2 y PB2A1 son semejantes porque tienen un ángulo común, el ángulo en P, y dos ángulos iguales, los ángulos en A1 y en A2, por ser ángulos inscritos en la circunferencia que abarcan el mismo arco B1B2.

Por lo tanto se verifica:

PA1 * PB1 = PA2 * PB2

 

Con cualquier otra secante sucedería lo mismo y en particular por aquella que pasa por el centro de la circunferencia.

Se llama potencia de un punto P respecto a una circunferencia a la constante:

Pot (P) = PA * PB

 

 


II.- Potencia de un punto respecto de una circunferencia al variar el mismo.

La potencia de un punto P de coordenadas (p1,p2) respecto de una circunferencia de ecuación:

(x-a)2 +(y-b)2 = r2

(Circunferencia de centro el punto de coordenadas (a,b) y radio r) se puede hallar aplicando la fórmula:

Pot (P) = (p1 - a)2 + (p2 - b)2 - r2

Sean el punto P (p1,p2) y la circunferencia de centro el origen de coordenadas y radio 5. Su ecuación será:

x2 + y2 = 25

 

1.- Calcula la potencia de los siguientes puntos:

(6,2), (2,6), (3,4), (1,2)

┐Qué se puede observar?. Calcula la potencia de los puntos que quieras, dando valores a los parámetros p1 y p2.

 


III.- Potencia de un punto respecto a una circunferencia al variar ésta.

Sea el punto P (-4,3) y la circunferencia de ecuación:

(x-a)2 + (y-b)2 = r2

 

2.- Determina la potencia del punto P al variar el valor de los parámetros a, b y r.

┐Qué puedes observar?.


IV.- Posición relativa de un punto respecto de una circunferencia.

La potencia de un punto respecto de una circunferencia nos permite determinar la posición relativa del punto respecto de la circunferencia.

Si la potencia es positiva, el punto es exterior a la circunferencia.

Si la potencia es negativa, el punto es interior a la circunferencia.

Si la potencia vale 0, el punto pertenece a la circunferencia.

 

3.- En la anterior escena y dando valores a los parámetros p1, p2 (Coordenadas del punto P) y a,b y r (a y b son las coordenadas del centro de la circunferencia y r el radio), comprueba la posición relativa de puntos respecto a circunferencias.

4.- ┐Pertenece el punto P(2.5,4) a la circunferencia de centro el punto (1.5,-1.5) y radio 5.6?. ┐Es interior o es exterior?. Razona la respuesta.


V.- Eje radical de dos circunferencias.

Se llama eje radical de dos circunferencias al lugar geométrico de los puntos del plano que tienen igual potencia respecto de dos circunferencias.

Para el siguiente ejercicio vamos a mantener una circunferencia fija y tendremos otra variable de la que podremos cambiar las coordenadas de su centro (parámetros a y b) y su radio r.

 

Observa que el eje radical es una recta secante a las dos circunferencias en los puntos, si existen, de corte de ambas y perpendicular al segmento que une los dos centros si una circunferencia no es interior a la otra.

5.- Varía el valor de los parámetros y obtén el eje radical de distintas circunferencias.


Autor: Juan José Bermejo Crespo

I.E.S. "Alonso de Covarrubias"

Torrijos. (Toledo).